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课件网) 垂径定理 1.复习并巩固圆心角和圆周角的相关知识. 2.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程. (重点) 3.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题.（难点） 学习目标 问题 赵州桥的半径是多少？ 观察与思考 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 问题1 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 垂径定理及其应用 一 解：（1）圆是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴. · O A B C D E · O A B C D E 弧：弧AC=弧BC，弧AD=弧BD 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC、弧AD分别与弧BC、弧BD重合． （2）线段:AE=BE · O A B C E 由此，我们得到下面的定理： 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC D 我们还可以得到结论： 平分这条弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理，利用这个定理，你能平分一条弧吗？ 垂径定理的本质是: 满足其中任两条，必定同时满足另三条. （1）一条直线过圆心. （2）这条直线垂直于弦. （3）这条直线平分不是直径的弦. （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧. （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧. 解决求赵州桥拱半径的问题： 如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高． 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m 解得R≈27.9. O D A B C R 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R2=18.72+（R－7.2）2 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. OA2=AD2+OD2 AB=37.4m，CD=7.2m， OD=OC－CD=R－7.2 在图中 （m）, 垂径定理的推论 二 问题 命题：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。”是真命题吗?若是，请证明；若不是请举出反例. ∴ CD⊥AB, ∵ CD是直径， AE=BE ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E （1）如何证明？ · O A B C D E 已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE. 证明：连接OA，OB，则OA=OB ∵ AE=BE ∴ CD⊥AB，∠AOD=∠BOD. ∴ AD=BD, 求证：CD⊥AB，且AD=BD, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC （2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. · O A B C D ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. 如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧. ●O A B C D └ M 当堂练习 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，求⊙O的半径． · O A B E 解： 答：⊙O的半径为5cm. 在Rt△AOE中， 2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形． · O A B C D E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又 ∵AC=AB， ∴ AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形. ∵ 课堂小结 直径平分弦 直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦 直径平分弦（不是 ... ...
