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课件网) 5.1.2 导数的概念及其几何意义 1.函数y=f(x)的自变量x从x0变化到x0+Δx的平均变化率 必备知识·素养奠基 定义式 实质 函数值的改变量与自变量的改变量之比 意义 刻画函数在 上函数值变化的快慢 【思考】 (1)Δx=x2-x1是正数吗? 提示:Δx=x2-x1可能是正数,也可能是负数,但不能为0. (2)函数的平均变化率的几何意义是什么? 提示:几何意义为函数y=f 图象上过两点P1 ,P2 的割线的 斜率. ( ） (x2,y2) (x) 2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(瞬时变化率) (1)定义:如果当Δx→0时,平均变化率 无限趋近于一个确定的值,即 有 极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f (x) 在x=x0处的 导数. (2)记作f′ 或y′ , 即f′ = = . (3)作用:刻画函数在某点处函数值变化的快慢. 【思考】 (1)函数y=f 在x=x0处的导数一定存在吗? 提示:当Δx→0时,平均变化率 的极限存在,则函数y=f 在x=x0处可导, 否则在x=x0处不可导或无导数. (2)函数y=f 在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗? 提示:还可以表示为f′ = = 等. (x) (x) (x) 3.导数的几何意义 (1)切线的定义 如图,在曲线y=f(x)上任取一点P（ x,f（x））,如果当点P（x,f（x））沿着 曲线y=f(x)无限趋近于点P0 时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置, 这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在P0处的切线. (2)导数的几何意义 函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0, 即k0= =f′(x0). 【思考】 (1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗? 提示:曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点,可以有多个,甚至可以有无穷多个. (2)曲线的切线与导数有什么关系? 提示:①函数f(x)在x=x0处有导数,则函数f(x)在该点处必有切线,并且导数值 就是该切线的斜率. ②函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,但函数f(x)在该点处不一定 可导,例如f(x)= 在x=0处有切线,但不可导. 4.导函数的概念 (1)定义:当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,称它为y=f(x)的导函数(简称导数). (2)记作f′(x)或y′,即f′(x)=y′= . 【思考】 f′(x)与f′(x0)相同吗?它们之间有何关系? 提示:f′(x)与f′(x0)不相同.f′(x)是函数f(x)的导函数,f′(x0)是函数f(x)在x=x0处的导数值,是函数f′(x)在x=x0时的函数值. 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的函数值. ( ) (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值. ( ) (3)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. ( ) (4)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率. ( ) 提示:(1)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x) 在点x=x0处的导数值. (2)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在 点(x0,f(x0))处的切线倾斜角的正切值. (3)√.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在 点(x0,f(x0))处的切线的斜率. (4)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在 点(x0,f(x0))处的切线的斜率,不是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率. 2.函数f(x)在x0处可导,则 ( ) A.与x0,h都有关 B.仅与x0有关,而与h无关 C.与x0,h均无关 D.仅与h有关,而与x0无关 【解析】选B.因为f′(x0)= , 所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关. 3.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y′|x=2等于_____.? 【解析】因为直线3x-y-2=0的斜率为3, 所以由导数的几何意义可知y′|x=2=3. 答案:3 关 ... ...
