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课件网) 多邊形的重心 218吳昀昕 222許晉婕 223游凱婷 指導老師：桂雪萍老師、蔡芸蘭老師 台北市立敦化國民中學資源丙班 研究動機 在上了基本幾何作圖後，桂老師向我們介紹了「重心」這個概念。在課中同學間的討論及老師的講解之後，我們決定要利用這次獨立研究的機會，好好的探討這個重心的延伸主題─多邊形的重心。 研究目的 1.蒐集各種尋找平面圖形的重心的方法 2.利用尺規作圖，找出多邊形的重心，並整理出最佳方式 方法討論─尋找重心的方法 ※方法———鉛垂法 〈做法〉假定有一塊如右圖所示 般形狀不規則的木板，其重心在 G點上。首先，用繩子穿過A點而 將木板懸吊起來，木板就會如圖 般往右移動，直至重心G點在A點 的正下方才穩定下來。此時，如 果我們從A點畫一條鉛垂線，G點 必在這條鉛垂線上。同樣的我們 把繩子穿過B點而將木板懸吊起 來，等到木板穩定下來，自B點 引一條鉛垂線，重心G仍會在這條鉛垂線上。由A、B二點分別所畫的鉛垂線的交點，正是這塊木板的重心G。 〈分析〉不管是什麼樣的形狀，這個方法都適用。因為不管是通過A點或B點的鉛垂線，當此木板在懸吊並達到平衡(也就是不會晃動)時，鉛垂線左右的重量必相同，才可達到平衡。而由A、B兩點所做的兩條鉛垂線的交點，可使兩組被鉛垂線切成兩塊的木板都達到平衡。因此交點G便是此木板的重心─頂著它可以達到平衡的點。這是個較偏向理化做法的方式。 ※方法二─三角形的重心 〈做法〉任兩中線(連三角形任一邊的中點至對頂點的線段)的交點，即為此三角形之重心。 〈分析〉一中線可以平分此三角形的面積(等底同高)，若此三角形是一張紙，厚度忽略不計，則中線也可平分重量。因此，兩中線的交點便是重量的平衡點─重心。 p.s 課內教材，不再多說 ※方法三─正多邊形及圓形的重心 〈做法〉正多邊形─取兩條線對稱軸的交點(奇數邊形之對稱軸為點與對邊中點的連線；偶數邊形的對稱軸為點與對點的連線)，即為重心。圓形─圓心即為重心。 〈分析〉正多邊形的線對稱軸便是面積平分線，也就是質量平分線；圓形亦同。(同上) →感覺上，似乎在平面圖形上找出兩條可平分面積(質量)的線，在找出其交點即可找到重心。 方法展示 在參考過以上的重心找法後，我們試著自己用尺規作圖找出多邊形的重心，以下是我們的討論： §四邊形 1.長方形、菱形、正方形、平行四邊形的重心均是兩對角線的交點。 2.任意四邊形(包括鳶形、梯形)： 《分割法》連一條對角線將其切成兩個三角形，分別找出重心，連兩重心之線段(以下我們在本文均統稱為「重心線」)；再連另外一條對角線，畫出兩個不同於上一次的三角形，也分別找出兩個三角形的重心，連重心線。則此兩條重心線會交於一點，此點即為重心。 【分析一】重心，可視為此圖形的質量中心(p.s重心又稱為「質心」)，因此，在作第一條三角形重心連線時，我們可以確定此四邊形的重心一定會在此線段上。利用同樣的思考再換個方向做一次，則重心會同時在這兩條重心線上，即為兩重心線的交點。 ﹝例一﹞以圖一四邊形ABCD中，求做重心： 1.先連BD，得 ABD、 CBD 2.分別作 ABD、 CBD之重心g1、g2 3.同理，連AC作出 ACD、 ACB之重心g3、g4 4.直線g1g2與直線g3g4之交點即為四邊形ABCD之重心 (圖一) 《槓桿法》連一條對角線將其切成兩個三角形，並分別畫出它們的高及重心。連兩重心線段，以高的反比平分此線段，則平分點即為重心。 【分析二】這用到了理化的槓桿原理：重量1X臂長1=重量2X臂長2。用對角線切出來的三角形，它們有同底的性質，所以面積比就會等於高的比；而面積比又會等於其質量比，因此，兩個三角形的重心連線，就可以視為一個槓桿；而這個槓桿的兩端─也就是兩三角形的重心， ... ...
