中小学教育资源及组卷应用平台 第50讲 二项式定理 考情分析 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 知识梳理 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)； (2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N+)时，是递增的 当k＞(n∈N+)时，是递减的 二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与取得最大值 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. [微点提醒] (a＋b)n的展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C，C，一直到C，C. 经典例题 考点一 通项公式及其应用 INCLUDEPICTURE"箭头.TIF"多维探究 角度1 求二项展开式中的特定项 【例1－1】 (1)(x2＋1)的展开式的常数项是( ) A.5 B.－10 C.－32 D.－42 (2)的展开式中所有的有理项为_____. 解析 (1)由于的通项为C··(－2)r＝C·(－2)r·x， 故(x2＋1)·的展开式的常数项是C·(－2)＋C(－2)5＝－42. (2)二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx . 由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N. 令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r， ∵k∈N，∴r应为偶数. ∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2， －，x－2. 答案 (1)D (2)x2，－，x－2 规律方法 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可. 角度2 求二项展开式中特定项的系数 【例1－2】 (1)(多项式是积的形式)(1＋x)6的展开式中x2的系数为( ) A.15 B.20 C.30 D.35 (2)(多项式是和的形式)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中含x3的系数为－2，则a等于( ) A.2 B.2 C.－2 D.－1 (3)(三项展开式问题)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 解析 (1)因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为 1·Cx2和·Cx4， 因为C＋C＝2C＝2×＝30， 所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30. (2)(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为Ca3＋C(－1)3＝a3－10＝－2，则a3＝8，解得a＝2. (3)法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2的系数为CC＝30. 法二 (x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积. ∴x5y2可从其中5个因式中，两个取因式中x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30. 答案 (1)C (2)B (3)C 规律方法 1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解. 2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可. 3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形. 考点二 二项式系数与各项的系数问题 【 ... ...
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