二次函数与一元二次方程 数学人教版 九年级上 如图所示，以40 m/s的速度将小球沿与地面 成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t-5t2． 考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程． 如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值． 解：（1）解方程15=20t-5t2，t2-4t+3=0，t1=1，t2=3． 当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m． （2）解方程20=20t-5t2，t2-4t+4=0，t1=t2=2． 当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m． （4）小球飞出时和落地时的高度都为0 m， 解方程0=20t-5t2，t2-4t=0，t1=0，t2=4． 当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面． （3）解方程20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0． 因为(-4)2-4×4.1＜0， 所以方程无实数根． 这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m． 问题2 从上面你能看出，二次函数与一元二次方程有 怎样的关系？试着用自己的语言来表达． 解：从上面可以看出二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）． 反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值． 结论：一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0． 问题3 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？ 如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1． 解：这些函数的图象如下图所示． 可以看出： （1）抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1． 当x取公共点的横坐标时，函数值是0． 由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1． （2）抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3． 当x=3时，函数值是0． 由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3． （3）抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根． 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得 如下结论： （1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根． （2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点． 这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根． 例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根（结果保留小数点后一位）． 解：画出函数y=x2-2x-2的图象，如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7． 所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7． （-0.7，0） （2.7，0） 此外，我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一 元二次方程的根． 观察函数y=x2-2x-2的图象可以发现，当自变量为2时的函数值小于0，当自变量为3时的函数值大于0． 因为抛物线y=x ... ...
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