几何图形中的分类讨论思想 【典例解析】 【例1】（2019·江苏崇川期中）△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一过点A的直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为_____． 【答案】117°或108°或84°． 【解析】解：①∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝∠BDA＝39°， ∴∠BAC＝78°+39°＝117°； ②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°， ∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°， ∴∠BAC＝24°+84°＝108°； ③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°， ∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°﹣2×48°＝84°； △ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°， 故答案为：117°或108°或84°． 【变式1-1】（2020·哈尔滨月考）已知等腰三角形，，为边上一点，且和都是等腰三角形，则_____． 【答案】45°或36°. 【解析】解：分两种情况： （1）当AD＝BD，DC＝AD时，则BD＝CD． 在△ADB与△ADC中， ∵BD=CD，AD=AD，AB=AC， ∴△ADB≌△ADC， ∴∠ADB＝∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＝45°； （2）当AB＝BD，CD＝AD时，则∠BAD＝∠BDA，∠C＝∠DAC． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝∠DAC，∠BAD＝∠BDA＝2∠C＝2∠B， ∵∠B+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°， ∴5∠B＝180°， ∴∠B＝36°． 故答案为：45°或36°． 【变式1-2】（2019·河北邢台模考）我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形 （1）如图，在中，，过作一直线交于，若把分割成两个等腰三角形，则的度数是_____． （2）已知在中，，过顶点和顶点对边上一点的直线，把分割成两个等腰三角形，则的最小度数为_____． 【答案】130°，. 【解析】解：（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意， 当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°， ∴∠BDA=180°-25°×2=130°． 故答案为：130°； （2）① ∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD， ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴4∠B=180°， ∴∠BAC=90°． ② ∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA， ∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B， ∴∠BAC=3∠B， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴5∠B=180°， ∴∠B=36°， ∴∠BAC=108°． ③ ∵AB=AC，当AD=BD=BC， ∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C， ∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC， ∴∠ABC=∠C=2∠BAC， ∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°， ∴5∠BAC=180°， ∴∠BAC=36°． ④ ∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC， ∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD， ∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC， ∴∠ABC=∠C=3∠BAC， ∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°， ∴7∠BAC=180°， ∴∠BAC= ． 综上所述，∠A的最小度数为：． 故答案：． 【例2】（2018·南通市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点的坐标，过点作轴，垂足为点，过点作直线轴，点从点出发在轴上沿着轴的正方向运动． （1）当点运动到点处，过点作的垂线交直线于点，证明，并求此时点的坐标； （2）点是直线上的动点，问是否存在点，使得以为顶点的三角形和全等，若存在求点的坐标以及此时对应的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】见解析． 【解析】解：（1）∵AP⊥PD ∴∠APB+∠DPC=90° 又∠A+∠APB=90° ∴∠A=∠APB ∵AB=CP，∠ABP=∠PCD ∴△ABP≌△PCD ∴AP=DP，CD=BP=3 ∴D（2,3）. （2）设P（a,0），Q（2，b） ①当AB=PC，BP=CQ时，△PCQ≌△ABP 即，解得或 ∴P（0,0），Q（2,3）或P（0,0），Q（2,-3）或 P（4,0），Q（2,7）或P（4,0），Q（2,-7） ②当AB=CQ，BP=CP时，△APB≌△QPC 即，解得 ∴P（,0），Q（2,-2） ... ...
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