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课件网) 5.1.2 数列中的递推 激趣诱思 知识点拨 斐波那契,意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部,其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》.他在书中提出了著名的兔子繁殖问题:如果每对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄),而子兔在出生后第三个月里就又能生一对子兔.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子? 激趣诱思 知识点拨 一、数列的递推关系 如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 名师点析 通项公式与递推公式的区别与联系 类别 区别 联系 通项公式 an是序号n的函数式an=f(n) 都是给出数列的方法,都可求出数列中任意一项 递推公式 已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式 激趣诱思 知识点拨 微思考 所有的数列都有递推公式吗? 提示:递推公式是给出数列的一种重要方法,但并不是所有的数列都有递推公式.例如 精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式. 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知数列{an}的首项a1=1,且an=3an-1+1(n≥2),则a4为( ) A.13 B.15 C.30 D.40 答案:D 激趣诱思 知识点拨 二、数列的前n项和 一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和. 名师点析 由数列的前n项和Sn求通项an 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知数列{an}的前n项和Sn,求数列的通项公式. (1)Sn=(-1)n+1·n; (2)Sn=2n2+n+3. 解:(1)由Sn=(-1)n+1·n知,当n=1时,a1=S1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1(2n-1).又当n=1时,a1=(-1)1+1×1=1,适合上式,∴an=(-1)n+1(2n-1). (2)由Sn=2n2+n+3知: 当n=1时,a1=S1=6; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+n+3)-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由递推关系写出数列的项 例1已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前5项; (2)通过公式bn= 构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2, ∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5, a5=a4+a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算. (2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1. (3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1= 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1= 给出,试写出这个数列的前5项. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 例2(1)已知a1=1,an+1-an=2,求数列{an}的通项公式. (2)已知a1=1,an+1=2an,求数列{an}的通项公式. 思路分析递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系,可将递推公式转化为通项公式进行研究. 解:(1)(方法一:累加法)∵a1=1,an+1-an=2, ∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2,将这些式子的两边分别相加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1). 又a1=1,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1. (方法二:迭代法)an=an-1+1×2=an-2+2×2=…=a1+(n-1)×2=2n-1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 又a1=1=20, ∴数列{an}的通项公式为an=2n-1. (方法二:迭代法)an=2an-1=22an-2=23an-3=…=2n-1·a1=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1. 探究一 探 ... ...
