初中数学 线段的比较与中点 精讲精练 1. 线段的比较 （1）叠合法（图形的比较），把要比较的两条线段的一个端点重合，然后把两条线段在重合点的同侧叠合在一起，由另一个端点的位置关系可以得出两条线段的长短关系。 （2）度量法（数量的比较），用刻度尺测量出线段的长度（单位相同），再根据长度的大小判断线段的长短关系。 2. 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点，如图所示，如果M是线段AB的中点，则有AM=BM=AB。 3. 等分线段 （1）把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点，如图，M、N是线段AB的三等分点，则有AM=MN=NB=AB。 （2）把一条线段分成四条相等的线段的点叫做线段的四等分点，如图，M、N、P是线段AB的四等分点，则有AM=MN=NP=PB=AB。 4. 线段的性质 两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。 例题1 平原上有A、E、C、D四个村庄，如图所示，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池。不考虑其他因素，请画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。 思路分析：由“两点之间，线段最短”可知，到A、D两点的距离之和最小的点在线段AD上，到E、C两点的距离之和最小的点在线段EC上，所以AD、CE的公共点就是到四点的距离之和最小的点。 答案： 例题2 （1）如图所示，线段AB=4，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段OA，OB的中点，小明据此很轻松地求得CD=2.你知道小明是怎样求出来的吗？ （2）小明在反思过程中突发奇想：当点O运动到AB的延长线上时，原有的结论“CD=2”是否仍然成立？ 思路分析：（1）把线段CD看成OC+OD，把线段AB看成OA+OB，再根据线段的中点定义可知OC=OA，OD=OB，可得CD=AB。 （2）与（1）的思路类似，只不过（1）中把CD看成OC+OD，而（2）中把CD看成OC-OD。 答案：（1）因为点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA，OB的中点， 所以OC=OA，OD=OB。 因为OA+OB=AB=4，所以CD=AB=×4=2。 （2）当点O运动到线段AB的延长线上时，原有的结论“CD=2”仍然成立。 因为C、D分别是线段OA、OB的中点，所以OC=OA，OD=OB。 因为CD=OC-OD，所以OC=OA-OB=（OA-OB）。 因为OA-OB=AB=4，所以CD=AB=×4=2。 例题3 在同一个学校上学的小明、小伟、小红三位同学分别住在A、B、C三个住宅区，如图所示，A、B、C三点共线，且AB=60米，BC=100米，他们打算合租一辆车去上学。由于车位紧张，他们准备在三个住宅区之间只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在何处？ 思路分析：车的停靠点有5种可能情况，①停靠点设在A住宅区；②停靠点设在A住宅区与B住宅区之间；③停靠点设在B住宅区；④停靠点设在B住宅区与C住宅区之间；⑤停靠点设在C住宅区。要求出符合要求的停靠点的位置，我们需要分情况讨论。 答案：①停靠点设在A住宅区，则他们的路程总和为220米； ②停靠点设在A住宅区与B住宅区之间，则他们的路程总和大于160米而小于220米； ③停靠点设在B住宅区，则他们的路程总和为160米； ④停靠点设在B住宅区与C住宅区之间，则他们的路程总和大于160米而小于260米； ⑤停靠点设在C住宅区，则他们的路程总和为260米。 综上所述，停靠点应设在B住宅区。 分类讨论法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。 同步练习 （答题时间：20分钟） 1. 如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米。为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ） A. ... ...
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