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课件网) 7.3.1 正弦函数的性质与图像 课标阐释 1.理解正弦函数的性质,会求正弦函数的周期、单调区间和最值,并能利用正弦函数的性质与图像来解决相关的综合问题. 2.了解正弦函数图像的画法,能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图像. 3.会用信息技术作正弦曲线. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 如图将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像称为正弦曲线.它表示了漏斗相对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况. 激趣诱思 知识点拨 知识点一:正弦函数性质 1.对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin x与之对应,因此y=sin x是一个函数,一般称为正弦函数. 2.正弦函数的性质与图像 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 3.周期:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数, 非零常数T称为这个函数的周期. 名师点析 对三角函数的性质的理解 (1)如果y=sin x的定义域不是全体实数,那么它的值域就可能不是 (2)正弦函数在其定义域上不是单调的. (3)若函数y=sin x的定义域不是R,则一定要在给定定义域内结合函数的单调性求其值域. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 求f(x)=sin(3π+x)的最大值和单调递增区间. 微练习2 下列函数中,不是周期函数的是( ) A.y=-sin x,x∈R B.y=3,x∈R C.y=sin(4π+x),x∈[-10π,10π] D.y=sin x,x∈(0,+∞) 答案C 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 知识点二:正弦函数的图像 1.正弦曲线:一般地,y=sin x的函数图像称为正弦曲线. 2.“五点法”: (1)画出正弦曲线在[0,2π]上的图像的五个关键点 (2)将所得图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度). 激趣诱思 知识点拨 名师点析 对三角函数的图像的理解 (1)作正弦函数图像时,函数自变量要用弧度制,以保证自变量与函数值都为实数. (2)正弦曲线是轴对称图形,对称轴为x= +kπ(k∈Z);正弦曲线也是中心对称图形,且对称中心为(kπ,0)(k∈Z). (3)正弦曲线相邻两条对称轴之间的距离为π,相邻两个对称中心的距离也为π,对称中心到其相邻对称轴的距离为 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)正弦函数y=sin x的图像向左右和上下无限伸展.( ) (2)函数y=sin x与y=sin(-x)的图像完全相同.( ) (3)函数y=sin x的图像关于(0,0)对称.( ) 答案(1)× (2)× (3)√ 微练习1 从函数y=sin x,x∈[0,2π)的图像来看,对应于sin x= 的x有( ) A.1个值 B.2个值 C.3个值 D.4个值 答案B 激趣诱思 知识点拨 微练习2 在“五点法”中,正弦曲线最低点的x轴坐标与最高点的x轴坐标的差等于( ) 答案B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 正弦函数的值域、最值 例1(1)(多选)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是[0, ],值域为 [-5,-1],则a,b的值为( ) A.a=2,b=-7 B.a=-2,b=2 C.a=-2,b=1 D.a=1,b=-2 (2)求函数f(x)=sin(π+x)-cos2x的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值. 分析(1)根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b. (2)利用诱导公式、同角三角函数的关系统一成正弦,换元求最值. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 关于与正弦函数有关的最值 (1)一次式:如果是关于正弦函数的一次式,要根据一次项的系数正负确定最值; (2)二次式:如果是关于正弦函数的二次式,则 ... ...
