1.3.2———杨辉三角”与二项式系数的性质 自主预习·探新知 情景引入 幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人为之痴迷．一天，时任台州地方官的杨辉外出巡游，遇到一学童，学童正在为老先生布置的题目犯愁：“把1到9的数字分行排列，不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于15”．杨辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究起来，直至午后，两人终于将算式摆出来了．杨辉回到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”就是说：先把1～9九个数依次斜排，再把上1下9两数对调，左7右3两数对调，最后把2,4,6,8向外面挺出，这样三阶幻方填好了．杨辉还系统研究了四阶幻方至十阶幻方，并且他还发现了著名的杨辉三角． 那么，杨辉三角与二项式定理中的二项展开式有何关系呢？ 新知导学 1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数__相等__． (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__和__，即C＝__C＋C__． 2．二项式系数的性质 对称性 与首末两端“__等距离__”的两个二项式系数相等(即C＝C)． 增减性 当k<____时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，中间一项二项式系数取得最大值____ 当n是奇数时，中间两项二项式系数相等，同时取得最大值__＝__ 各二项式系数的和 C＋C＋C＋…＋C＝__2n__. C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n－1__. 预习自测 1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于( C ) A．5 B．6 C．7 D．8 [解析] 二项式(a＋b)n的展开式中， 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， ∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C． 2．(全国卷Ⅲ理，4)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为( C ) A．－80 B．－40 C．40 D．80 [解析] 因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40， x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80． 所以x3y3的系数为80－40＝40． 故选C． 3．已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这 个展开式中x3项的系数是( B ) A．56 B．160 C．80 D．180 [解析] 由条件知(1＋2)n＝729，∴n＝6，∴展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，令r＝3得23C＝160． 4．(2020·深圳二模)若(x－)n的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为__96__． [解析] 在(x－)n中，令x＝1可得，其展开式中各项系数和为(－3)n，结合题意可得(－3)n＝81，解得n＝4． ∴(x－)n的展开式的通项公式为：Tr＋1＝Cx4－r(－)r＝(－4)r·C·x4－2r， 令4－2r＝0，解得r＝2.∴常数项为C×(－4)2＝96． 故答案为96． 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向? 与杨辉三角有关的问题 典例1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19． [思路分析] 由数列的项在杨辉三角中的位置，将项还原为二项式系数，然后结合组合数的性质求和． [解析] 由杨辉三角可知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C；第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C． 故S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C ＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C) ＝＋C＝274． 『规律总结』 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 ┃┃跟踪练习1__■ (1)如图，此数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行第2个数是____． 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 …—————— (2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数， ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
