利用原理巧涂色，和两个计数原理有关的涂色问题

利用原理巧涂色，和两个计数原理有关的涂色问题 山东省济宁市嘉祥县第三中学数学组 李本强 QQ：1191034397, 电话：13686378810 邮箱：1191034397@ 例：在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如图1，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有_____种栽种方案． 【分析】将栽种植物问题看成涂色问题. 以A、C、E（相间）栽种植物情况作为分类标准： ①A、C、E栽种同一种植物，有4种栽法；B、D、F各有3种栽法， ∴ 共有 4×3×3×3＝108 种栽法. ②A、C、E栽种两种植物,有种栽法（是4种植物中选出2 种，是A、C、E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物，是选出的2种植物排列），B、D、F共有3×2×2 种栽法（注：若A、C栽种同一种植物，则B有3 种栽法，D、F各有2种栽法）， ③A、C、E栽种3种植物，有种栽法；B、D、F各有2种栽法， ∴ 共有 ×2×2×2＝192 种栽法. 综合①、②、③，共有 108+432+192=732种栽法. 归纳与拓展： 如图2让我们首先用m（m≥3）种不同的颜色（可供选择），去涂4个扇形的情形（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色），如图所示以1和3（相间）涂色相同与否为分类标准： ①1和3涂同一种颜色，有m种涂法；2有m-1种涂法,4也有m-1种涂法, ∴ 共有 种涂法. ②1和3涂不同种颜色，有种涂法;2有m-2种涂法，4也有m-2种涂法， ∴ 共有 种涂法. 综合①和②，共有+种涂法. “设一个圆分成P1，P2，…，，共n个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题有没有更为一般的解法（即通法）呢？（n为不小于3的整数） 【分析】设为符合要求的对n个扇形的涂色方法. 对扇形P1有m种涂色方法， 扇形P2有m－1种涂色方法， 扇形P3也有m－1种涂色方法， ………… 扇形也有m－1种涂色方法． 于是，共有种不同的涂色方法.但是，，因为这种涂色方法可能出现P1与着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的涂色方法.那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n－1个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙），不同的涂色方法有种，于是， 有－（n≥3），①.显然，． 上述的式①就是数列的递推公式，由此，我们就可以推导出的通项公式： . 至此，我们就找到了“设一个圆分成P1，P2，…，，共n个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的通项公式：即． 【注意】上述问题中的m种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的. 变式训练：某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种．（以数字作答） 【分析】 ①首先栽种第1部分，有种栽种方法； ②然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示）， 对扇形2有3种栽种方法，扇形3有2种栽种方法，扇形4也有2种栽种方法，扇形5也有2种栽种方法，扇形6也有2种栽种方法．于是，共有种不同的栽种方法.但是，这种栽种方法可能出现区域2与6着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的栽种方法.这时，把2与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用3种颜色的花对4个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙）.而用3种颜色的花对4个扇形区域的栽种问题. 综合①和②，共有种栽法.（当然此式中的18也可以直接用（1）中的公式算出：即 ）. 图 1 图 2 PAGE 3 ... ...