8.1.3 向量数量积的坐标运算 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(多选)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是( ) A.|a|=|b| B.a·b= C.a∥b D.a-b与b垂直 解析因为|a|=1,|b|=, 所以|a|≠|b|. 又a·b=1×+0×; 易知a与b不共线,所以A,B,C均不正确. 因为a-b=,且(a-b)·b==0,所以(a-b)⊥b. 答案ABC 2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则
=( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析设c=(x,y), 则由(a+b)·c=,得x+2y=-. 又cos==-, 因为0°≤≤180°,则=120°. 答案C 3.已知向量a,b的夹角为,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=( ) A.2 B.3 C. D. 解析∵|a|=, a·b=|a||b|cos=0, ∴|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=()2+4×22=21,∴|a+2b|=. 答案C 4.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k等于( ) A.- B.0 C.3 D. 解析因为a=(k,3),b=(1,4), 所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6). 因为(2a-3b)⊥c, 所以(2a-3b)·c=(2k-3,-6)·(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3. 答案C 5.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x= ;|a+b|= .? 解析∵a·b=2,∴x=2. ∵a+b=(3,1),∴|a+b|=. 答案2 6.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 .? 解析由题得λa+b=λ(-3,2)+(-1,0)=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),则(λa+b)·(a-2b)=3λ+1+4λ=7λ+1=0,∴λ=-. 答案- 7.已知向量a,b同向,b=(1,2),a·b=20. (1)求向量a的坐标; (2)若c=(2,1),求(b·c)a. 解(1)因为向量a,b同向,又b=(1,2), 所以设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ),λ>0. 由a·b=20,得1×λ+2×2λ=20, 所以λ=4,所以a=(4,8). (2)因为b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4, 所以(b·c)a=4(4,8)=(16,32). 8.已知平面向量a=(2,2),b=(x,-1), (1)若a∥b,求x; (2)若a⊥(a-2b),求a与b所成夹角的余弦值. 解(1)∵a∥b,∴x1y2-x2y1=0, 即-2-2x=0,可得x=-1. (2)依题意得a-2b=(2-2x,4), ∵a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=0, 即4-4x+8=0, 解得x=3,∴b=(3,-1). 设向量a与b的夹角为θ, 则cosθ=. 能力提升练 1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析∵=(1,1),=(-3,3), ∴=1×(-3)+1×3=0. ∴,∴A=90°,故选A. 答案A 2.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是( ) A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 解析设点P的坐标为(x,0), 则=(x-2,-2),=(x-4,-1). =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1. 当x=3时,有最小值1,此时点P的坐标为(3,0).故选C. 答案C 3.已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量的模为 .? 解析∵a∥b,∴2×(-2)-(-1)x=0,解得x=4, ∴b=(4,-2),∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y). ∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)·(b-c)=0, 即6-3(-2-y)=0,解得y=-4, ∴=(y-x,x-y)=(-8,8),∴||=8. 答案8 4.已知向量m=(λ+2,1),n=(λ+1,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为 ,m+n在n方向上的投影的数量为 .? 解析由题意知向量m+n=(2λ+3,3),m-n=(1,-1),∵(m+n)⊥(m-n), ∴(m+n)·(m-n)=(2λ+3)×1+(-1)×3=2λ=0,即λ=0. 则m=(2,1),n=(1,2),cos=. m+n=(3,3). m+n在n方向上的投影的数量为|m+n|cos=. 答案 5.在△ABC中,已知=(1,2),=(4,m),m>0. (1)若∠ABC=90°,求m的值; (2)若||=3,且=2,求cos∠ADC的值. 解(1)若∠ABC=90°,则=0, 因为=(3,m-2), 所以=3+2m-4=0,所以m=. (2)因为||=3,所以=3, 因为m>0,所以m=5,所以=(3,3), 因为=2, 所以=(1,1),=(2,2), 而=(3,4),所以=(-3,-4), 所以cos∠ADC==-. 素养培优练 1.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β) ... ... 