24.4 直线与圆的位置关系 ———《切线的判定定理》 【教学目标】： 知识与技能：1.理解切线的判定定理，并学会初步运用． ?? 2.知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择。?????? ???? 3.掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法。 过程与方法： 通过复习直线与圆的位置关系，以“d=r直线是圆的切线”为依据，探究切线的判定定理。 情感、态度与价值观：经历观察、探究、证明等数学活动过程，培养学生初步的演绎推理能力，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。 【教学重点】： 探索圆的切线的判定定理，并能运用 【教学难点】： 切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径的外端；二是直线垂直于这条半径,利用切线的判定解决几何问题的技巧———辅助线的添加。 【教具】： 三角板、圆规、多媒体课件 【教学过程】： 1、情景导入： 当你在下雨天快速转动雨伞时， 雨水飞出的方向是什么方向呢？ 雨水是沿着圆的切线的方向飞出的． 怎样判断一条直线是圆的切线呢？ 2、新知探究 思考交流 图中直线l满足什么条件就是⊙O的切线？ 方法1：直线与圆只有一个公共点 方法2：圆心到直线的距离等于半径 注意：实际证明过程中，通常不采用方法1; 方法2是从“数量关系”的角度来判定圆的切线的方法。 判定一条直线是不是圆的切线除了这两种方法外还有其它方法吗? 观察与思考 在⊙O上任意作一条半径OA，经过半径外端点A作直线l⊥OA。 （1） 圆心O到直线l的距离d和圆的半径r有什么数量关系? d=r （2） 直线 l 和⊙O有什么位置关系呢？ 相切 由此你发现直线l满足什么条件，又能得到什么结论呢？ ① 直线l经过半径OA的外端点A； ② 直线l垂直于半径0A． 结论: 直线l是⊙O切线 归纳新知： 切线的判定定理： 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 对定理的理解： 切线必须同时满足两个条件： ①经过半径外端点；②垂直于这条半径． 定理的数学语言表达： ∵ OA是半径， l ⊥OA于点A ∴ l是⊙O的切线 判 断： 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ (1)不是，因为没有垂直. (2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 注意 ： 在此定理中，1.“经过半径的外端点”2.“垂直于这条半径”，这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 要点归纳： 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 三、应用新知 例1 已知：如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. 证明直线和圆相切的常见类型① 有交点，连半径，证垂直 例2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。 证明：过点O作OE⊥AC于点E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∴ OE是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。 证明直线和圆相切的常见类型② 无交点，作垂直，证半径 归 纳： (1) 如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这条直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。 (2) (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长。 简记为：作垂直,证半径。 四、练习巩固： 1.判断下列命题是否正确. ⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切 （ ） ... ...
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