等差数列的前n项和 的性质及应用 等差数列的前n项和公式: 形式1: 形式2: 复习回顾 .将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？ 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 则 Sn=An2+Bn 令 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1) 利用 ： 由 (2)利用 : 当 >0，d<0，前n项和有最大值。可由 ，求得n的值。 ，求得n的值。 当 <0，d>0，前n项和有最小值。可由 利用二次函数配方法求得最值时n的值 例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由. 解:(1)由已知得 a1+2d=12 12a1+6×11d>0 13a1+13×6d<0 等差数列{an}前n项和的性质 (2) ∵ ∴Sn图象的对称轴为 由(1)知 由上得 即 由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值. ∴Sn有最大值. 返回目录 （2）解法一：∵d<0,∴a1>a2>a3>…>a12>a13>…, 而 , ∴a7<0, 又∵ =6(a6+a7)>0,∴a6>0, ∴数列{an}的前6项的和S6最大. 等差数列{an}前n项和的性质 性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列,公差为 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 n2d 项数为奇数2n－1 性质2.1)项数为奇数2n－1,则(2)若项 S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项), 此时有: S偶－S奇= , an 若项数为偶数2n, 3.等差数列{an}前n项和的性质 性质2: (2)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), 此时有:S偶－S奇= , nd 4.在项数为2n项的等差数列中，各奇数项的和 为75，偶数项的和为90，末项与首项的差为27，求n 两等差数列前n项和与通项的关系 性质3:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则 等差数列{an}前n项和的性质 性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列,公差为 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), 此时有:S偶－S奇= , n2d nd 性质2:(2)若项数为奇数2n－1,则 S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项), 此时有:S奇－S偶= , 两等差数列前n项和与通项的关系 性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则 性质3: 为等差数列. an 解一：设首项为a1,公差为d,则 例. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。 由 解二： 例5. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。 等差数列的性质应用： 例、已知一个等差数列的总项数为奇数， 且奇数项之和为77，偶数项之和为 66，求中间项及总项数。 解：由 中间项 得中间项为11 又由 得 等差数列的性质应用： 例9：已知等差数列 中， 求 的值。 解法1： 代入下式得： 返回目录 （2）解法一：∵d<0,∴a1>a2>a3>…>a12>a13>…, 而 , ∴a7<0, 又∵ =6(a6+a7)>0,∴a6>0, ∴数列{an}的前6项的和S6最大. 解法二：∵a1=12-2d, ∴ . 考查二次函数 ,∵d<0 返回目录 ，∴当 时，y有最大值. ∵ 0,S13<0， ∴公差d<0, ∴在数列{an}中必存在一项an，使an≥0,an+1＜0. 由 得 . an=nd+a1-d≥0, an+1=(n+1)d+a1-d<0, a3=a1+2d=12, 返回目录 由(1)知： , ∴ , ∴ , ∴ . ∵n∈N*， ∴n=6,即a6>0,a7<0, ∴数列{an}的前6项的和最大. 【评析】本题给出了有关数列中最值问题的三种解答思路，揭示了数列、函数、不等式知识之间的联系. 解法2：设 解法3：由已知 两式相减得 2.等差数列{an}前n项和的性质 性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也成等差数列,公差为 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= n2d 0 - (m+p) 性质4: 为等差数列. 等差 ... ...
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