椭圆及其标准方程 探究: (参照课本38页探究)取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图版的同一点处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆，如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图版的两端，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 几何画板画椭圆 （一）椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆. 定点F1、F2叫做椭圆的焦点. 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）. 椭圆定义的文字表述： 椭圆定义的符号表述： (2a>2c ) M F2 F1 ● ● 2c ● 小结：椭圆的定义需要注意以下几点 1.平面上--这是大前提; 2.动点M到两定点F1、F2的距离之和是常数2a; 3.常数2a要大于焦距2c. 思考： 2.当2a>2c时, 轨迹是_____. 椭圆 3.当2a=2c时, 轨迹是_____. 4.当2a<2c时, 以F1、F2为端点的线段 无轨迹,图形不存在. 圆 1.当c=0时, 轨迹是____. M F2 F1 ● ● 2c ● 课堂练习 B ? 探讨建立平面直角坐标系的方案 O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y 2.求椭圆的方程： 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”) O x y F1 F2 M(x,y) (-c,0) (c,0) y O x F1 F2 M(x,y) (0,-c) (0 , c) 与 如何化简方程呢? 解：以焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) . x F1 F2 M 0 y （问题：下面怎样化简？） 由椭圆的定义得，限制条件： 代入坐标 移项，得 两边平方，得 两边再平方，得 整理，得 两边同除以 ，得 ① 则方程可化为 观察左图， 你能从中找出表示 c 、 a 的线段吗？ a2-c2 有什么几何意义？ . p 0 x y （０，a） (0,-a) ( a 2 2 2 ) 0 b a 1 y b x 2 > > = + 也是椭圆的标准方程。 如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢? 合作探究 如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同， 调换x,y轴）如图所示,焦点则变成 只要将方程中 的 调换，即可得 O X Y F1 F2 M (-c,0) (c,0) Y O X F1 F2 M (0,-c) (0 , c) 椭圆的标准方程的再认识： 椭圆方程有特点， 系数为正加相连， 分母较大焦点定， 右边数1记心间。 总体印象： 对称、简洁， “像”直线方程的截距式 快速反应 则a＝ ，b＝ ；c=____ 焦点坐标为＿＿＿＿＿＿ 3 2 2 则a＝ ，b＝ ；c=____ 焦点坐标为＿＿＿＿＿＿ 快速反应 则a＝ ，b＝ ；c=____ 焦点坐标为＿＿＿＿＿＿ 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。 不 同 点 标准方程 图 形 焦点坐标 共 同 点 定 义 a、b、c 的关系 焦点的位置的判定 (a>b>0) (a>b>0) 项中哪个分母大，焦点就在哪一条坐标轴上. F1(－c,0) , F2(c,0) F1(0,－c) , F2(0 , c) M 变式1：椭圆的方程为： , 则a=_____，b=_____，c=_____，焦点坐标为：_____焦距等于_____;曲线上一点P到焦点F2的距离为3，则点P到另一个焦点F1的距离等于_____，则△F1PF2的周长为_____ x y F1 F2 P O 2 4 变式2：椭圆的方程为： , 则a=_____，b=_____，c=_____， 2 y x o A B 过椭圆的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A、B两点，则 的周长 为＿＿＿＿ 练习1.下列方程哪些表示椭圆？ ? ? 但注意：椭圆的标准方程一定为 （1）a=4, b=1, 焦点在x轴上； （2）a=5, c=3, 焦点在y轴上； （3）a=5, c=3, 练习2:写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 焦点在x轴上时： 焦点在y轴上时： 小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c) 椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方 ... ...
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