1.1.3 导数的几何意义 1.导数的几何意义 (1)切线的定义 导思 1.导数的几何意义是什么,如何求切线的斜率? 2.如何求函数的导函数? 如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线 PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为点P处的_____. 切线 (2)导数的几何意义 函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k, 即k= =_____. (3)本质:是曲线上一点处的切线的斜率. (4)应用:①求切线的方程;②求直线的倾斜角 f′(x0) 【思考】 (1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗? 提示:曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点,可以有多个,甚至可以有无 穷多个. (2)曲线的切线与导数有什么关系? 提示:①函数f(x)在x=x0处有导数,则函数f(x)在该点处必有切线,并且导数值 就是该切线的斜率. ②函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,但函数f(x)在该点处不一定 可导,例如f(x)= 在x=0处有切线,但不可导. 2.导函数的概念 (1)定义:当x变化时,_____是自变量x的一个函数,称为函数f(x)的导函数(简 称导数). (2)记法:f′(x)或y′,即f′(x)=y′= _____ . f′(x) 【思考】 f′(x)与f′(x0)相同吗?它们之间有何关系? 提示:f′(x)与f′(x0)不相同.f′(x)是函数f(x)的导函数,f′(x0)是函数f(x)在x=x0处的导数值,是函数f′(x)在x=x0时的函数值. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在x=x0处的函 数值. ( ) (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的切线与x轴所夹锐角的正切值. ( ) (3)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的切线的斜率. ( ) (4)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0,f(x0))与点(0,0)连 线的斜率. ( ) 提示:(1)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在x=x0处的导数值. (2)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线倾斜角的正切值. (3)√.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. (4)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,不是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率. 2.曲线f(x)=x3+2x+1在点(0,f(0))处的切线的方程为 ( ) A.y=x-1 B.y=x+1 C.y=2x-1 D.y=2x+1 【解析】选D.因为f′(0)= , 所以曲线f(x)=x3+2x+1在点(0,f(0))处的切线的斜率为2,所以切线方程为 y-1=2(x-0),即y=2x+1. 3.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则点A处的切线的斜率为 ( ) A.4 B.16 C.8 D.2 【解析】选C. ,即斜率k=8. 关键能力·合作学习 类型一 求曲线的切线方程(数学运算) 【题组训练】 1.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为 ( ) A.y=5x-1 B.y=-5x+1 C.y= x+1 D.y=- x-1 2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为3x+y+5=0,则 ( ) A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0 C.f′(x)=0 D.f′(x0)不存在 【解析】1.选A.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线的斜率 , f(1)=4.所以切线方程为y-4=5(x-1),即y=5x-1. 2.选B.由切线方程y=-3x-5及导数的几何意义知 f′(x0)=-3<0. 【解题策略】 1.求曲线上某点处切线方程的三个步骤 2.过曲线外的点P(x1,y1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q(x0,y0). (2)求出函数y=f(x)在点Q处的导数f′(x0). (3)利用Q在曲线上和f′(x0)=kPQ,解出x0,y0及f′(x0). (4)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0). 类型二 求切点坐标(数学运算) 【典例】已知曲线y=2x2+a在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点 ... ...
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