§6 平面向量数量积的坐标表示 课后篇巩固探究 A组 基础巩固 1.若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)(a+b)=( ) A.20 B.54 C.(-10,30) D.(-8,24) 解析∵a·b=-3+8=5,a+b=(-2,6), ∴(a·b)(a+b)=(-10,30). 答案C 2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则向量a与向量c=(,-1)的夹角的余弦值是( ) A. B. C. D. 解析a+b=(3,k+2),又a+b与a共线,所以k+2=3k,解得k=1,于是a=(1,1),设a与c夹角为θ, 则cos θ=. 答案B 3.在以OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=( ) A.4 B.3 C. D.4 解析由已知得=(1,k-1),而由题意得,即=-3+k-1=0,故k=4. 答案D 4.已知a=(2,4),则与a垂直的单位向量的坐标是( ) A. B. C. D. 解析由已知得与a=(2,4)垂直的向量为b=λ(4,-2),即b=(4λ,-2λ),又|b|=1,所以λ=±,于是所求单位向量为. 答案D 5.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( ) A. B. C.2 D.10 解析∵向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),故有|a+b|=,故选B. 答案B 6.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,则b= .? 解析由题意知b=λ(1,-2)=(λ,-2λ)(λ<0). ∵|b|=3,∴=3. ∴5λ2=45,∴λ2=9. ∵λ<0,∴λ=-3.∴b=(-3,6). 答案(-3,6) 7.直线y=2x-1与直线x+y=1的夹角的余弦值为 .? 解析由已知得两直线的方向向量分别是m=(1,2),n=(1,-1),于是cos θ==-,于是两直线的夹角的余弦值是. 答案 8.在Rt△ABC中,∠C=90°,E,F是斜边AB的两个三等分点,且AC=6,BC=8,则= .? 解析 以C为原点,CB,CA分别为x轴、y轴建立坐标系,由已知可得,C(0,0),E,F,于是,于是. 答案 9.已知a=(1,2),b=(-3,2). (1)求a-b及|a-b|; (2)求ka+b与a-b垂直,求实数k的值. 解(1)a-b=(4,0),|a-b|==4. (2)ka+b=(k-3,2k+2),a-b=(4,0). ∵(ka+b)⊥(a-b),∴(ka+b)·(a-b)=4(k-3)+(2k+2)·0=0,解得k=3. 10.导学号93774078已知a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标; (2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ. 解(1)设c=(x,y),∵|c|=2, ∴=2,即x2+y2=20. 由c∥a和|c|=2,可得 解得 故c=(2,4)或c=(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), ∴(a+2b)·(2a-b)=0, 即2a2+3a·b-2b2=0, ∴2×5+3a·b-2×=0, 整理得a·b=-, ∴cos θ==-1. 又θ∈[0,π],∴θ=π. B组 能力提升 1.已知向量a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则a与b夹角的余弦值为( ) A. B.- C.± D. 解析由a+b=(2,-8),a-b=(-8,16)得a=(-3,4),b=(5,-12),所以cos
==-,故选B. 答案B 2.已知O为坐标原点,向量=(3sin α,cos α),=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈,且,则tan α的值为( ) A.- B.- C. D. 解析由题意知6sin2α+cos α·(5sin α-4cos α)=0,即6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,等式两边同时除以cos2α,得6tan2α+5tan α-4=0,由于α∈,所以tan α<0,解得tan α=-,故选A. 答案A 3.已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是( ) A.(-2,+∞) B. C.(-∞,-2) D.(-2,2) 解析由a·b=2+k>0得k>-2,又当a∥b时,2k=1,k=,所以a与b夹角为锐角时,k的范围是. 答案B 4.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是( ) A.[0,1] B.[-1,1] C.[-] D.[0,] 解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|·cos θ=cos θ,∵cos θ∈[-1,1], ∴(a-b)·c的取值范围为[-]. 答案C 5.设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,则t的值为 .? 解析∵a=(4,-3),b=(2,1), ∴a+tb=(4+2t,-3+t). ∵a+tb与b的夹角为45°, ∴(a+tb)·b=|a+tb||b|cos 45°, ∴2(4+2t)+(-3+t)×1 =, ∴5t+5=. ∴(t+1). ① 将①式两边 ... ... 