1.4 二次根式 一、二次根式的相关概念 1、定义：形如 的式子叫做二次根式. 2、最简二次根式必须满足下面的两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 3、同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式. 4、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化. 5、有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：与；与） 二、二次根式的性质 1、双非负数：≥0（a≥0） 2、 ； 3、； 4、（a≥0，b≥0）； 5、 三、二次根式的运算 1、二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式. 2、二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）. 3、二次根式的除法： 注意：二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式. 考点一： 二次根式有意义的条件 要使二次根式有意义，则 的取值范围是（ ????） A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】解：依题可得：x-3≥0. ∴x≥3. 故选D. 【点评】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0即可得出答案. 变式跟进1式子有意义，则实数a的取值范围是（ ） A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2 【答案】C. 【解析】式子有意义，则a+1≥0，且a﹣2≠0，解得：a≥﹣1且a≠2．故选C. 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，同时，要注意分母不等于零． 考点二：最简二次根式、同类二次根式 化简：= ． 【答案】． 【解析】原式=2﹣3=． 【点评】先把二次根式化简，再合并同类二次根式即可. 变式跟进2下列二次根式中能与2合并的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可． 解：A、＝2，不能与2合并，故该选项错误； B、能与2合并，故该选项正确； C、＝3不能与2合并，故该选项错误； D、＝3不能与2合并，错误； 故选B． 【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 考点三： 二次根式的运算 下列计算：（1）()2＝2，（2）＝2，（3）()2＝12，（4），其中结果正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D. 【解析】根据二次根式的性质可得（1）、（2）、（3）正确；根据平方差公式可得（4）正确，故选D. 【点评】利用二次根式的性质及计算法则进行判断即可. 变式跟进3计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|． 【答案】3 【解析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案． 解：原式=4×+1﹣2+2 =2﹣2+3 =3． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 考点四：二次根式的化简与求值 设x、y均为实数，且y= ，求的值 【答案】 【解析】解：由题意得,x??3≥0,3?x2≥0，1?x>0， 解得,x=?， 则y=2， . 【点评】根据二次根式的有意义的条件求出x的值，代入已知式子求出y的值，代入计算即可． 变式跟进4观察下列等式： 第1个等式：a1==﹣1， 第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣， 第4个等式：a4==﹣2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个等式：an=_____； （2）a1+a2+a3+…+an=_____． 【答案】 ，-1 【解析】（1）∵第1个等式：a1==﹣1， 第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣， 第4个等式：a4==﹣2， ∴第n个等式：an==﹣； （2）a1+a2+a3+…+an =（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）=﹣1． 故答案为=﹣；﹣1． 【点评】根据分母有理化，并借助规律即可解答. 一、选择题 1．（2018·聊城）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得. 解: A、与不 ... ...
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