直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系 在圆锥曲线的问题中，有关弦的问题、直线及其夹角的问题是解析几何中最常见的问题．对于这类问题的求解，往往要联立方程组，构造一元二次方程，并要考虑判别式及韦达定理，恰当地运用整体化思想，设而不求思想，并注重数形结合和分类讨论等数学思想方法． 例1已知点A、点B的坐标分别为(- 1, 0)与(1, 0)．曲线C上的任意一点P，且点P满足条件： ,(1) 求曲线C的方程； (2) 过点B的直线L与曲线C相交于M、N两点，若∠MAN为钝角，求直线L倾斜角α的取值范围． 分析 由易知点P的轨迹是一椭圆，又易知点P不是AB的中垂线上的点， 于是，要使∠MAN为钝角，当考虑tan∠MAN < 0时，可得解法1；当考虑cos∠MAN < 0可得解法2． 解 (1) ∵ , ∴ ， 又∵ ，∴ x≠0． 故 点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴为4除去y上的两点的椭圆弧，即 ( x≠0 )． (2) 解法1 若L与x 垂直，则L的方程为 x = 1，此时有， 若L与x轴重合，则∠MAN =π不为钝角． 若L与x轴斜交，因为B(1, 0)∈L，故可设其方程为 y = k (x- 1)，k≠0, 代入椭圆方程中，得 (3 + 4k2 ) x2- 8k2x + 4k2- 12 = 0 ， 由于直线L过椭圆的右焦点，故L与椭圆恒有两个交点．设此两点为M(x1 , y1), N(x2 , y2)，则有 ， ∴ ， ∵ ∠MAN为钝角，∴ ，故 ， ∴ ． 故 倾角α的取值范围是． 解法2 设M(x1 , y1), N(x2 , y2)，因为A(-1, 0) , B(1, 0), 如图9-7, 于是，有 tan∠MAN ， 又由图9-7可知：当x1 > x2时，显然有k > 0，当x1 < x2时，显然有k< 0， 因此，恒有 (x1- x2)·k·(3 + 4k2) > 0， 故要使∠MAN为钝角，则只要7k2-9 < 0即可．∴ ， 故倾角α的取值范围是 ． 点评 本题是向量与解析几何等知识的综合性试题．对于(2)求解，因为在已知的条件中有向量式，从而考虑用向量的内积来求解是理所当然的．解法2是常见的一种基本方法．由此可知，运用向量法求解要优越得多．因此，我们要注重运用向量的知识解题，增强向量思想方法的意识． 例2 已知P为椭圆b2x2 + a2y2 = a2b2的左准线l与x轴的交点，过左焦点F1的直线和椭圆交于A、B两点，连接PA、PB， 求证：∠APB被x轴平分； (2)若∠APF1取最大值时的正弦值为0.6，且此时，求椭圆方程． 证明 (1) 证法1 如图9-8，设A(x1, y1), B(x2, y2)，AB所在的直线为y = k(x +c) ,………………………… ① 将①代入椭圆方程　b2x2 + a2y2 = a2b2　② ，得 (a2k2 +b2 ) x2 +2c a2 k2 x+a2k2c2- a2b2 = 0， ∴ ，， 又∵ ∴ 从而 ， 上式的分子：= == 0. 由此可得　直线AP与BP关于x轴对称，即 ∠APB被x轴平分． 证法2　 如图9-8, 过A作AC⊥l于C, 过B作BD⊥l于D,　 由平行线截线段成比例性质，得 ，又 ， ∴ , 又∠ACP =∠BDP = 90o , 故 △ACP ∽△BDP, ∴ ∠APC =∠BPD, 由此可得　∠APF1 =∠BPF1, 即 ∠APB被x轴平分． 证法3　不妨设点A在x轴上方．过A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则 |PA1| = |AC|， 如图9-8,又设椭圆的离心率为e，∠AF1A1＝β， 由椭圆的定义，得 ，又|AA1|＝|AF1|sinβ,于是，由图可得 ，………………………① 同理可得 = e sinβ． 由此可得　tan∠APF1 = tan∠BPF1, 又∵ ∠APF1 与∠BPF1均为锐角，∴ ∠APF1 =∠BPF1．即x轴平分∠APB． (2) 解法1 由①知 tan∠APF1 = e·sinβ, 因此，当β＝90o时，A1、F1两点重合．此时e·sinβ取最大值， 从而tan∠APF1亦最大，且最大值为 ，∴ ， 又由 ，得，即 ， 又∵ PF1⊥x轴，∴ ，而，由此解得 c = 9，a = 12 , b2 = 63． 故所求的椭圆方程为 ． 解法2　由题意知，当PA与椭圆相切时，有∠APF1 最大，设A(x0, y0)为切点， 又设PA所在的切线方程为 ，则有 , ∴　AF1⊥x轴，且有, 从而 , 于是，有 , 又∵ ，∴ 49 = ，即49 =, 又 , 故 ，以下同解法1． 解法3　若∠ ... ...