18．2 特殊的平行四边形 18．2.1 矩形 第1课时 矩形的性质 教学目标 【知识与技能】 1．了解矩形的定义，理解矩形的性质，能利用矩形的性质解决问题． 2．掌握直角三角形斜边上的中线的性质，能运用它解决直角三角形中的线段求值问题． 【过程与方法】 在观察、探究、归纳、推理论证等活动过程中，加深学生对知识的理解和掌握，锻炼分析问题、解决问题的能力，增强数学应用意识． 【情感态度】 进一步增强学生的逻辑推理能力，发展数学思维． 【教学重点】 矩形的性质及其推论． 【教学难点】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 教学过程 一、情境导入，初步认识 观察思考，如图(1)将两长两短的四根木条用小钉铰合在一起，使等长的木条成为对边，这样就得到一个平行四边形，即?ABCD；转动这个四边形使A′B′⊥B′C′时如图(2)，就得到一个特殊的平行四边形，你能说出这时平行四边形A′B′C′D′是什么图形吗？与同伴交流． 【教学说明】 教师展示准备好的用木条做成的平行四边形框架，转动这个平行四边形，让学生观察角的变化．当一个角变为直角时，所得到的图形是矩形．让学生感知矩形是一种特殊的平行四边形，引入新课． 二、思考探究，获取新知 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫长方形．矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是连接对边中点的直线；矩形具有平行四边形的所有性质，即矩形的对角相等，对边平行且相等，对角线互相平分． 想一想 矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？与同伴交流． 【教学说明】 老师可引导学生通过矩形的边、角、对角线三个方面进行思考，从而易得到矩形的性质． 矩形的特殊性质 矩形的四个角都是直角(或矩形的四个角都相等，均为90°)； 矩形的对角线相等．(这一性质可让学生自己证明．) 思考 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，则有OA＝OB＝OC＝OD.如果擦去图中线段AD，OD，CD，你能发现什么有趣的结论？说说看． 【教学说明】 在学生得到OB＝OA＝OC后，教师应引导学生将这一结论用文字表述清楚． 【归纳结论】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 三、典例精析，掌握新知 【例1】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4 cm，求矩形的对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分．∴OA＝OB.又∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形．∴OA＝AB＝4 cm∴矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝8 cm. 【例2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点M，N分别为对角线AC、BD的中点，连接MN.求证：MN⊥BD. 证明：连接BM，DM.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，且M为AC边中点，∴DM＝AC，BM＝AC，即DM＝BM.又∵N为BD中点，∴MN⊥BD(等腰三角形三线合一)． 四、运用新知，深化理解 1．如图，四边形ABCD是矩形，找出相等的线段和相等的角． 解：相等的线段有：OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC，相等的角有：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠AOD＝∠BOC，∠AOB＝∠COD，∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC，∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB. 2．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝4 cm，AE⊥BD于点E，且BE∶BD＝1∶4，求矩形ABCD的周长． 解：在矩形ABCD中，AC＝BD，AO＝AC，BO＝BD，∴AO＝BO.又∵BE∶BD＝1∶4，∴BE∶BO＝1∶2，∴BE＝EO.又AE⊥BO于点E，由中垂线性质得AB＝AO.∴△ABO为等边三角形．∴∠OAB＝60°.∴∠OAF＝∠BAD－∠OAB＝30°.∵OF⊥AD于点F，∴AB＝AO＝2OF＝2×4＝8(cm)．∴AC＝2AO＝16(cm)．Rt△ABC中，BC＝＝8(cm)．∴C矩形ABCD＝2(AB＋BC)＝2×(8＋8)＝(16＋16)(cm) 【教学说明】 学生独立作业，教师巡视，适时予以点拨．第2题，可引导学生先得出△AOB形状为等边三角形，再得 ... ...
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