中小学教育资源及组卷应用平台 知识点一 任意角 1．任意角 2．象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 特别提醒：一些特殊角的集合表示： (1)终边在x轴上的角的集合：{β|β＝k·180°，k∈Z}． (2)终边在y轴上的角的集合：{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}． 知识点二 弧度制 1．定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 2．角度制和弧度制的互化 180°＝π rad,1°＝ rad,1 rad＝°. 3．扇形的弧长及面积公式 弧长公式：l＝|α|·r， 面积公式：S＝lr＝|α|·r2， 其中r为扇形的半径． 知识点三 任意角的三角函数与同角三角函数的基本关系 1．任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α ＋ － ＋ － 2.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 特别提醒：平方关系，一般为隐含条件，可直接应用，注意“1”的代换． 知识点四 三角函数线 如图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T. 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 知识点五 诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 题型一 弧度制扇形的弧长、面积公式的应用 例1 已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α(α＞0)为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓， 则α＝60°＝，R＝10 cm，l＝×10＝(cm)， S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin ＝π－＝50(cm2)． (2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR， ∴R＝，∴S扇＝αR2＝α2 ＝·＝·≤. 当且仅当α2＝4，即α＝2时， 扇形面积有最大值. 感悟与点拨 涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝|α|R2. 跟踪训练1 (1)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数为( ) A．2 B．4 C．1 D. (2)已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为_____cm和圆心角为_____弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是_____cm2. 答案 (1)A (2)1 2 1 解析 (1)设扇形弧长为l，半径为r， 则解得∴α＝＝2. (2)设扇形的圆心角为α，半径为r， 则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2. ∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1， ∵r>0，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2. 题型二 角的概念及其表示 例2 已知角α＝，在区间[－4π，0]内与角α有相同终边的角β＝_____. 答案 －或－ 解析 由终边相同的角关系知β＝k·2π＋，k∈Z， ∴取k＝－2，－1，得β＝－或β＝－. 感悟与点拨 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件 ... ...
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