学考专题复习必修4（3）三角恒等变换

中小学教育资源及组卷应用平台 知识点一　两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(C(α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(S(α＋β)) tan(α－β)＝；(T(α－β)) tan(α＋β)＝.(T(α＋β)) 知识点二　二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；(S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α) tan 2α＝.(T2α) 知识点三　辅助角公式及常用变形公式 1．辅助角公式 (1)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ) ； (2)acos α－bsin α＝cos(α＋φ) . 特别提醒：常用的6个式子： ①sin α±cos α＝sin； ②sin α±cos α＝2sin； ③sin α±cos α＝2sin； ④cos α－sin α＝cos； ⑤cos α－sin α＝2cos； ⑥cos α－sin α＝2cos. 2．常用变形公式 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)； (2)cos2α＝，sin2α＝； (3)①1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， ②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， ③1＋cos 2α＝2cos2α， ④1－cos 2α＝2sin2α. 知识点四　简单的三角恒等变换 1．变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形式，不变其性质． 2．变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的． 3．变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式． 4．变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径． 题型一　两角和与差的公式的应用 例1　(1)已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，则cos(α＋β)的值为_____． (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为_____． 答案　(1)－　(2)－ 解析　(1)∵0＜β＜＜α＜π， ∴－＜－β＜，＜α－＜π， ∴cos＝ ＝， sin＝ ＝， ∴cos ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝， ∴cos(α＋β)＝2cos2－1 ＝2×2－1＝－. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝＝＞0， ∴0＜α＜， 又∵tan 2α＝＝＝＞0， ∴0＜2α＜， ∴tan(2α－β)＝＝＝1. ∵tan β＝－＜0， ∴＜β＜π，∴－π＜2α－β＜0， ∴2α－β＝－. 感悟与点拨　(1)解题中注意变角，如本题中＝－. (2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 跟踪训练1　(1)(2017年4月学考)已知θ为锐角，且sin θ＝，则sin(θ＋45°)等于(　　) A. B．－ C. D．－ (2)已知α∈，β∈，cos 2β＝－，sin(α＋β)＝.则sin α＝_____. 答案　(1)A　(2) 解析　(1)∵θ为锐角且sin θ＝， ∴cos θ＝. ∴sin(θ＋45°)＝sin θcos 45°＋cos θsin 45° ＝×＋×＝. (2)∵β∈，∴cos β＜0，sin β＞0. 又cos 2β＝2cos2β－1＝－，∴cos β＝－. sin β＝＝. 而α＋β∈，且sin(α＋β)＝， ∴α＋β∈ ∴cos(α＋β)＝－＝－. 故sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝×－×＝. 题型二　二倍角公式的应用 例2　(1)方程3sin x＝1＋cos 2x在区间[0,2π]上的解为_____． (2)＝_____. 答案　(1)或　(2) 解析　(1)∵3sin x＝1＋cos 2x＝2－2sin2x， ∴2sin2x＋3sin x－2＝0， ∴sin x＝，sin x＝－2(舍去)． 又x∈[0,2π]，∴x＝或. (2) ＝cos2－sin2＝cos ＝. 感悟与点拨　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子的结构与特征． (2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有①化 ... ...