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课件网) 华师大版 八下数学 19.1.2矩形的判定 回顾旧知 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 问题1：什么样的图形是矩形？ 有一个角是直角 平行四边形 矩形 情景导入 思考 ：工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，你知道这是为什么吗？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 探究新知 1.有一个角是直角的四边形是矩形吗？ 2.有两个角是直角的四边形是矩形吗？ 3.有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 如图，作一个三个角都是直角的四边形. 步骤： 1.任意作两条互相垂直的线段AB、AD； 2.过点B作垂直于AB的直线l； 3.过点D作垂直于AD的直线m，交l于点C，即得一个三个角都是直角的四边形ABCD A D B C m l 试一试 矩形的判定定理1： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. 归纳 你能证明这个结论吗？ 探究新知 A B C D AC=BD A B C D AC=BD 1、对角线相等的四边形是矩形吗？ 2、需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗? 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 如图，作一个对角线相等的平行四边形。 步骤： 1.任意作两条相交的直线，交点记为O； 2.以点O为圆心、适当的长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条 线段OA、OB、OC、OD； 3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形ABCD. O D A C B 证明 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. A B C D 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 归纳 矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 例题解析 例4、如图，点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形EFGH是矩形. 例题解析 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DO. ∵AE＝BF＝CG＝DH, ∴OE＝OF＝OG＝OH， ∴四边形EFGH是平行四边形. ∵EO＋OG＝FO＋OH， 即EG＝FH， ∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四 边形是矩形). 证明： 例题解析 例5、如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD 的中点. 求证:四边形BMDN是矩形. 证明： ∵△ABD和△BCD是全等的正三角形， ∴∠ADB＝∠CDB＝60°. 又∵M、N分别为BC、AD的中点， ∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°， ∴∠DNB＝∠DMB＝90°， ∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°, ∴四边形BMDN是矩形(有三个角是直角的四边形 是矩形). 例题解析 例6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E. 求证：四边形ADCE是矩形. ∵ AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠B＝∠ACB，BD＝DC. 又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线， ∴∠1＝∠CAF＝(∠B＋∠ACB) ＝∠B， ∴AE∥BC. 又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE＝BD，AB＝DE， ∴AC＝DE，AE＝DC. 又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形）.? 证明： 课堂练习 1．两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所组成的四边形是( ) A．四边形 B．一般平行四边形 C．矩形 D．梯形 2．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是( ) A．一组对边平 ... ...
