选修4-5不等式和绝对值不等式

授课主题 不等式和绝对值不等式 教学目标 1．会用基本不等式证明一些简单问题．2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题．3．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：①|ax＋b|≤c；　②|ax＋b|≥c.4．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c. 教学内容 1．两实数大小比较的三种情况．设a，b为两个实数，它们在实轴上的点分别记为A，B.如果A落在B的右边，则称a大于b，记为a＞b；如果A落在B的左边，则称a小于b，记作a＜b；如果A与B重合，则称a与b相等，记为a＝b.2．不等式的基本性质．(1)对称性：a＞b?b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)加(减)：a＞b?a＋c＞b＋c.(4)乘(除)：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)乘方：a＞b＞0?an＞bn，其中n为正整数，且n≥2.(6)开方(取算术根)：a＞b＞0?＞，其中n为正整数，且n≥2.(7)a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.本性质说明两个同向不等式相加，所得的不等式和原不等式同向．(8)a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.本性质说明两边都是正数的同时不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向．3．基本不等式．定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，因而这一定理可用语言叙述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．我们称为正数a，b，c的算术平均数，为正数a，b，c的几何平均数，定理3中的不等式为三个正数的算术—几何平均不等式，或简称为平均不等式．定理4(一般形式的算术—几何平均不等式)：如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．4．绝对值的三角不等式．定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.等号成立?(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间，5．绝对值不等式的解法．(1)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法．①c＞0，则|ax＋b|≤c的解为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可．②c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为?，|ax＋b|≥c的解集为R.(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．解这类含绝对值的不等式的一般步骤是：①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根．②把这些根由小到大顺序，它们把实数轴分为若干个区间．③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集．④这些解集的并集就是原不等式的解集．6．解不等式常用技巧．解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价．这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧．题型一　用作差比较法比较大小例1　若x∈R，试比较(x＋1)(x2＋＋1)与(x＋)(x2＋x＋1)的大小．分析：根据这个式子的特点，先把代数式变形，再用作差法比较法比较大小．解析：∵(x＋1)(x2＋＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1－)＝(x＋1)(x2＋x＋1)－(x＋1)，(x＋)(x2＋x＋1)＝(x＋1－)(x2＋x＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1)－(x2＋x＋1)．∴(x＋1)(x2＋＋1)－(x＋)(x2＋x＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1)－(x＋1)－(x＋1)(x2＋x＋1)＋(x2＋x＋1)＝(x2＋x＋1)－(x2＋x)＝>0.∴(x＋1)(x2＋＋1)>(x＋)(x2＋x＋1)．点评：比较大小的一般方法是作差比较法，先作差，再判断差与0的大小关系．若a ... ...