第六章 平行四边形 3 三角形的中位线 随堂演练 获取新知 知识回顾 例题讲解 情景导入 课堂小结 知识回顾 复行四边形的性质和判定有哪些？ 边： 角： 对角线： B O D A C ?AB∥CD, AD∥BC ?AB=CD, AD=BC ?AB∥CD, AB=CD ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC AO=CO,DO=BO 判定 性质 情景导入 思考1 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？ 思考2 若D，E分别是AB，AC的中点，则只需测量出DE的长，就可以求出池塘的宽BC，你知道为什么吗？ A B C D E 获取新知 知识点一：三角形中位线的概念 如图，在△ABC中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形。将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180o得到△CFE的位置（如图），这样得到了一个与△ABC的面积相等的□DBCF 你能解释这么做 的原因吗？ 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线. D E 问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ 有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF. A B C D E F 问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？ 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. A B C A B C 中位线 中线 知识点二：三角形中位线的性质 猜想： 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC，DE＝ BC E A B C D 如何将两个问题转化为一个问题呢？作辅助线：倍长DE 如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE, ∴△ADE≌△CFE. ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.∴CF∥AB. ∵BD＝AD，∴CF＝BD. ∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形). ∴ DF∥BC(平行四边形的定义)， DF＝BC(平行四边形的对边相等). ∴DE∥BC，DE＝ BC E A B C D F 2 1 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的 第三边，并且等于第三边的一半； 归纳总结 几何语言描述： ∵AD＝BD，AE＝EC， ∴DE∥BC，且DE＝ BC. D E 位置关系 数量关系 例1 如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线 上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF. 例题讲解 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC， ∴AB∥CE，AB＝CE， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴点F是BC的中点． 又∵点O是AC的中点， ∴OF是△ABC的中位线， ∴AB＝2OF. 获取新知 知识点三：中点四边形 中点四边形的定义： 依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形． 拓展： 不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终是平行四边形． 例题讲解 例2 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形． 分析：中点四边形的理论基础和前提是三角形的中位线，所以需要把相应的边作为三角形的中位线进行看待 证明：如图，连接BD. ∵点E，H分别是边AB，DA的中点， ∴EH为△ABD的中位线． ∴EH∥BD，EH＝ BD. 同理可得：FG∥BD，FG＝ BD. ∴EH∥FG，EH＝FG. ∴四边形EFGH是平行四边形． 还有其他的思路吗？连接AC试试吧 随堂演练 1. 如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=7, BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,则四边形EFGH的周长为( )A.12 B.14 C.24 D.21 A 2. 如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是( ) A．线段EF的长逐 ... ...
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