2020-2021学年高中数学人教A版必修5第二章2.3 等差数列的前n项和3课时课件（共85张PPT）

2.3 等差数列的前 n 项和 (第一课时) 问题1. 数列 3, 2, 1, 5, 7, 0, -2, 8, 10, -15, 16, 31, … 的前 3 项和是多少? 前10项和是多少? 一个数列从第 1 项加到第 n 项, 叫做这个数列的前 n 项和, 一般用 Sn 表示, 即 S3=a1+a2+a3. S10=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10. Sn=a1+a2+a3+…+an. 前3项和: 3+2+1=6, 前10项和: 3+2+1+5+7+0-2+8+10-15=19. 问题2. 200多年前, 德国数学家高斯在它10岁时计算 1+2+3+…+100 是这样算的: (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101?50, 由此启示, 如果知道等差数列的首项 a1 和末项 an, 请你思考如何写出它的前 n 项和 Sn. ∵ Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an. 又可写成 Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1. 两式相加得 2Sn= (a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) = (a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+…+(an+a1) = n(a1+an) 等差数列中 若 m+n=p+q, 则 am+an=ap+aq. 等差数列前 n 项和: 将an用通项公式代换后, 公式变为: 请同学们比较, 这两个公式有什么不同? 各个公式在什么情况下用较方便? 两式相加得： 倒序相加法 问题3. 你能求出正整数数列的前 n 项和吗? 正偶数数列的前 n 项和呢? 正奇数数列呢? (1) 正整数数列: 1, 2, 3, …, n, … 这个数列是等差数列, a1=1, an=n, d=1. 用第一个公式求和得 用第二个求和公式得 问题3. 你能求出正整数数列的前 n 项和吗? 正偶数数列的前 n 项和呢? 正奇数数列呢? (2) 正偶数数列: 2, 4, 6, …, 2n, … 这个数列也是等差数列, a1=2, an=2n, d=2. 用第一个公式求和得 用第二个求和公式得 =n2+n. =n2+n. 问题3. 你能求出正整数数列的前 n 项和吗? 正偶数数列的前 n 项和呢? 正奇数数列呢? (3) 正奇数数列: 1, 3, 5, …, 2n-1, … 这个数列还是等差数列, a1=1, an=2n-1, d=2. 用第一个公式求和得 用第二个求和公式得 =n2. =n2. 例1. 2000年11月14日都育部下发了《关于中小学实施 “校校通” 工程的通知》. 某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标: 从2001年起用10年的时间, 在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算, 2001年该市用于 “校校通” 工程的经费为500万元, 为了保证工程的顺利实施, 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元, 那么从2001年起的未来10年内, 该市在 “校校通”工程中的总投入是多少? 解: 每年投入资金比上一年增加50万元, 是个定数, 则各年投入的资金构成等差数列, a1=500, d=50. 要求10年的总和, 即此等差数列的前10项和, 用第二个公式: = 7250(万元). (答略) 例2. 已知一个等差数列{an}前10项的和是310, 前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列前n 项和的公式吗? 分析: 用通项公式写出所给两项可得 a1 与 d 的 解出 a1 与 d 即可用第二个求和公式. 方程组, 例2. 已知一个等差数列{an}前10项的和是310, 前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列前n 项和的公式吗? 解: ∵前10项的和是310, ① 又前20项的和是1220, 得 ② 由①②组成方程组 解方程组得 a1=4, d=6. 则可写出前 n 项和公式: =3n2+n. 1. 根据下列各题中的条件, 求相应的等差数列 {an}的前 n 项和 Sn. (1) a1= -4, a8= -18, n=8; (2) a1=14.5, d=0.7, an=32. 解: (1) ∵n=8; 则 Sn = S8 = = -88. 练习: (课本45页) 1. 根据下列各题中的条件, 求相应的等差数列 {an}的前 n 项和 Sn. (1) a1= -4, a8= -18, n=8; (2) a1=14.5, d=0.7, an=32. 解: (2) 练习: (课本45页) ∵an=a1+(n-1)d, 即 32=14.5+0.7(n-1), 解得 n=26. 由第一个公式得 = 604.5. 由第二个公式得 = 604.5. 1. (3) 在三位正整数的集合中有多少个数是 5 的倍数? 求它们的和. (4) 在正整数集合中有多少个三位数? 求它们的和. 解: (3) 5 的倍数的数构成等差数列, 即 a1=100, an=995, d=5. 由通项公式得 995=100 ... ...