数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. D 2. A 3. D 4. C 5. B 6. C 7. A 8. D 9. D 10.C 11. B 12. B 简答与提示： 1. 【试题解析】D 2. 【试题解析】A 解法1. 解法2. 3. 【试题解析】D 由于函数在上单调递增， 4. 【试题解析】C 由初等函数图像及其变换得C正确. 5. 【试题解析】B 6. 【试题解析】C. ，则. 又，因此. 7. 【试题解析】A 8. 【试题解析】D 9. 【试题解析】D 要点数出现6，根据方差公式知，方差大于2.4. 10. 【试题解析】C 原式可化为 11. 【试题解析】B 图1 图2 原题等价于求方程的根的个数，令，根据图1，，方程，如图2，方程有两个不等实数根，，，如图1， 方程，各有两个不等实数根，故原函数共有4个零点. 12. 【试题解析】B 设内层椭圆方程为，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆可设成，（），设切线的方程为， 与联立得， ， 由，则，同理， 所以，因此. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 14. 15. 16. ， 13.【试题解析】6 的展开式中，的系数为15， 14.【试题解析】 答案不唯一，合情合理即可. 15.【试题解析】 设，过点向轴做垂线，垂足为，可得与相似， 则， 则. 16. 【试题解析】， 即，解得 延长中线到点，使得不妨设中线长为，由平几知识易得四边形是平行四边形，在中，由余弦定理得， ，当且仅当时“”成立. 三、解答题 17. (本小题满分12分) 【试题解析】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的列联表： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 ， 可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关. （6分） （Ⅱ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，5. 其中；；；；；. 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 由于，则； . （12分） 18. (本小题满分12分) 【试题解析】解：（Ⅰ）即为的四等分点，即. （6分） （Ⅱ）连接, , 因此以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴， 建立空间坐标系. ，，， ，，； 设直线与平面所成的角为， 即直线与平面所成角的正弦值为. （12分） 19. (本小题满分12分) 【试题解析】解：（Ⅰ）由可得，， 则，，由，则，即. 因此为以为首项，以为公比的等比数列. （6分） （2）由，因此，则， 因此，当时，， 当时，满足， 因此 . （12分） 20. (本小题满分12分) 【试题解析】解：（Ⅰ） 的面积，解得， 即椭圆的标准方程为. （4分） （Ⅱ）已知点，设直线的方程为，点，. 直线的方程为，直线的方程为， 将代入直线、方程， 可得， 设以为直径的圆过定点，则， 即 联立椭圆和直线的方程为， 可得， 化简得，即，. 代入上式化简得 ，由此可知，若上式与无关， 则，又，，， 因此以为直径的圆恒过定点和. （12分） 21. (本小题满分12分) 【试题解析】解：（Ⅰ）证明：，令，可得， 即，即. ，，令，则， 令，则，即， 即，所以在上是增函数，而，. （4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，， ，对求导得， 若有两个零点，令是的根，则 ，即 由①得，代入②得， 即，所以，所以 实际上，就是我们要求的充要条件. 根据上述过程，必要性一定成立. 下证充分性： 由于函数+1在上是增函数，且值域是， 所以当时，方程一定有大于1的实根，即， ，所以 ， 又， （因为） 即，，，且， 所以在区间和内各有一个零点， 即有两个零点. 因此所求的充要条件是：. （12分） 注：也可以利用来说明. 22. (本小题满分10分) 【试题解析】（Ⅰ）曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程； （5分） （Ⅱ）曲线的参数方程为为参数， 将其代入到曲线的普通方程中，有， 设分别为两点对应的参数，有， 由直线参数的几何意义，到两点的距离 ... ...
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