第2课时 数列的通项与递推公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)3．会求数列中的最大(小)项．(易错点) 1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养．2．借助数列最大(小)项的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养． 1．数列递推公式 (1)两个条件： ①已知数列的第1项(或前几项)； ②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式． 思考：已知an＋1＝2an，a1＝2，a5的值是什么？ [提示] a5＝32. 2．数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 思考：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N )就能确定这个数列吗？ [提示] 不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的． 1．符合递推关系式an＝an－1的数列是( ) A.1，2，3，4，… B．1, ，2，2，… C.，2, ，2，… D．0, ，2，2，… [答案] B 2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( ) A.－3 B．－11 C．－5 D．19 D [a3＝a2＋a1＝5＋2＝7， a4＝a3＋a2＝7＋5＝12， a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.] 3．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝ ． [a2＝1＋＝1＋1＝2， a3＝1＋＝1＋＝， a4＝1＋＝1＋＝， a5＝1＋＝1＋＝.] 4．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2 022－a2 021＝_____． 2 021 [由an＋1－an＝n，得a2 022－a2 021＝2 021.] 由递推关系写出数列的项 【例1】 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． [解] (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)， 且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1. (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝. 1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项． [解] ∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝＝， a3＝＝＝， a4＝＝＝， a5＝＝＝. 故该数列的前5项为1，，，，. 数列的最大(小)项的求法 【例2】 已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由． 思路探究：①an＋1－an等于多少？②n为何值时，an＋1－an>0？an＋1－an<0? [解] 法一：(单调性法)∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)·＝·， 当n<9时，an＋1－an>0，即an
9时，an＋1－an<0，即an>an＋1； 故a1a11>a12>…， 所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9＝a10＝. 法二：(最大项法)设ak是数列{an}的最大项． 则 即 整理得 得9≤k≤10，∴k＝9或10，即数列{an}中的最大项为 a9＝a10＝. 求数列的最大(小)项的两种方法 一是利用判断函数增 ... ... 