2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解变量间的相关关系，会画散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点) 2．了解线性回归思想，会求回归直线方程．(难点) 1．通过对数据的分析、统计，培养数据分析素养． 2．借助变量间相关关系的研究，提升数学运算素养. 1．变量间的相关关系 (1)相关关系的定义 变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有不确定性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系． (2)散点图 将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图． (3)正相关与负相关 ①正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关． ②负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． 2．回归直线方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法： 求线性回归方程＝x＋时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 其中，是线性回归方程的斜率，是线性回归方程在y轴上的截距． 1．下列两个变量具有相关关系的是( ) A．角度和它的余弦值 B．圆的半径和该圆的面积 C．正n边形的边数和它的内角和 D．居民的收入与存款 D [A、B、C中两变量是确定的函数关系．] 2．某工厂某产品产量x(千件)与单位成本y(元)满足回归直线方程＝77.36－1.82x，则以下说法中正确的是( ) A．产量每增加1 000件，单位成本约下降1.82元 B．产量每减少1 000件，单位成本约下降1.82元 C．当产量为1千件时，单位成本为75.54元 D．当产量为2千件时，单位成本为73.72元 A [令f(x)＝77.36－1.82x，因为f(x＋1)－f(x)＝77.36－1.82(x＋1)－77.36＋1.82x＝－1.82，所以产量每增加1 000件，单位成本约下降1.82元．] 3．5位学生的数学成绩和物理成绩如下表： 学科 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 则数学成绩与物理成绩之间( ) A．是函数关系 B．是相关关系，但相关性很弱 C．具有较好的相关关系，且是正相关 D．具有较好的相关关系，且是负相关 C [数学成绩x和物理成绩y的散点图如图所示． 从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系，且成正相关．] 4．设有一个回归方程为＝2－1.5x，则变量x每增加1个单位时，y平均减少_____个单位． 1.5 [因为＝2－1.5x，所以变量x每增加1个单位时，y1－y2＝[2－1.5(x＋1)]－(2－1.5x)＝－1.5，所以y平均减少1.5个单位．] 相关关系及判断 【例1】 某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示． 年龄x(岁) 1 2 3 4 5 6 身高y(cm) 78 87 98 108 115 120 (1)画出散点图； (2)判断y与x是否具有线性相关关系． [解] (1)散点图如图所示． (2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系． 相关关系的判断方法 (1)两个变量x和y具有相关关系的判断方法 ①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断； ②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； ③经验法：借助积累的经验进行分析判断. (2)判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响. 1．下列关系中，属于相关关系的是_____(填序号)． ①正方形的边 ... ...
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