[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 用频率估计概率 【例1】 为了为奥运会做准备，某射击运动员在相同条件下进行射击训练，结果如下表： 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91 (1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？ (2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？ (3)假设该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？ [解] (1)由表可知，击中靶心的频率在0.9附近，故击中靶心的概率大约是0.9. (2)击中靶心的次数大约是300×0.9＝270(次)． (3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．最后一次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心． 概率是一个常数，但除了特殊几类概型，概率并不易知，故可以用频率来估计. 1．对一批U盘进行抽检，结果如下表： 抽出件数a 50 100 200 300 400 500 次品件数b 3 4 5 5 8 9 次品频率 (1)计算表中次品的频率； (2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？ (3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？ [解] (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02. (3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘． 互斥事件与对立事件的概率 【例2】 某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)抽取1张奖券中奖的概率； (3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率． [解] 由题意事件A、B、C为互斥事件． (1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个， ∴P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝. (2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则 P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋ ＝. (3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则 P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.] 求复杂事件的概率通常有两种方法 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解. 2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． [解] 记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买． (1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B， 所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8. (2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 古典概型 【例3】 从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次． (1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？ [解] (1)每次取一件，取出后不放回，则连续取两次的所有基本事件共有6个，分别是(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．可以确定这些基本事件 ... ...
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