3.1.2 复数的几何意义 1、i是虚数单位，参与实数运算，i2=-1 一、复习: 复数概念 R C N Z Q R C 2、复数z的代数形式：z=a+bi(a∈R,b∈R) 其中a —实部，b —虚部，i称为虚数单位. 复数集C={a+bi|a,b∈R} 3、复数分类(图、表) 实数集 虚数集 纯虚数集 复数集 复数z=a+bi (a、b?R) 实数a (b=0) 有理数 无理数 分数 正分数 负分数 零 无限不循环小数 虚数a+bi (b?0) 纯虚数bi (a=0，b≠0) 非纯虚数a+bi (a≠0，b≠0) 4、两个复数相等 5、两个复数之间可以比较大小吗？ 实数可以, 虚数不可以，可“相等”. 二、复数的几何意义 实数可以用数轴上的点来表示。 实数 数轴上的点 (形) (数) 一一对应 想一想：在几何上，我们用什么来表示实数? 类比实数的表示，可以用什么来表示复数？ x 0 1 实数的几何模型: -1 z=a+bi(a, b∈R) 实部! 虚部! 回忆：复数的一般形式？ 一个复数由什么确定？ 由复数相等的定义可知,任意一个复数z=a+bi，都可以由有序实数对(a，b)唯一确定. 复数z=a+bi 有序实数对(a,b) 直角坐标系中的点Z(a,b) x y o b a Z(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 x轴--实轴 y轴--虚轴 （数） （形） --复数平面 (简称复平面) 一一对应 z=a+bi 复数的几何意义(一) x y O · · · · · · · A E B G H C F D 4+3i · 3-3i -3+2i -4-2i 6 -2 5i -5i 0 说出下列各点所对应的复数，并总结规律： · 实数所对应的点在实轴(x轴)上；虚数中，除了纯虚数所对应的点在虚轴(y轴)外，其它的都在象限中. 反过来，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示纯虚数. 由此可知，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的 1、下列命题中哪一个是假命题( ) A. 复平面内，对应于实数的点都在实轴上； B. 复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； C. 复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； D. 复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数 D 随堂练习 3、“a=0”是“复数a+bi (a, b∈R)所对应的点在虚轴上”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 不充分不必要条件 2、“a=0”是“复数a+bi (a, b∈R)是纯虚数”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 不充分不必要条件 C A 例1、已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 表示复数的点所在象限的问题 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 转化 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想 变式1、已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上,求实数m的值. 解：∵ 复数z所对应的点是(m2+m-6，m2+m-2) ∴ (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0 ∴ m=1或m= -2 变式2、证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。 不等式解集为空集 所以复数所对应的点不可能位于第四象限. 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 平面向量 一一对应 一一对应 复数的几何意义(二) x y o b a Z(a,b) z=a+bi 复数z=a+bi?复平面内的点Z(a,b) ?平面向量 x y O Z(a，b) 表示复平面上所对应的点Z(a,b)到原点的距离。 复数的模的几何意义： 注：复数不能比较大小，但模可以. 复数的模(复数的绝对值)： 例2、已知复数z的虚部为 ，在复平面内复数z对应的向量的模为2，求该复数z 思考： (1)满足|z|=5 (z∈R)的z值有几个？ (2)满足|z|=5 (z∈C)的所有复数所对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 设z=x+yi(x,y∈R) x y O 5 5 –5 –5 图形: 以原点为圆心,5为半径的圆 2个 x y O 5 5 –5 –5 (3)满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 3 –3 –3 3 以原点为圆心 半径3至5的圆环内(除边界外) 思考： 1、复数z=a+bi的几何意义： (1)直角坐标系 ... ...
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