单元素养检测(三) (第八章) (120分钟 150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) A. B. C. D. 【解析】选C.如图,设CD=a,PE=b, 则PO==, 由题意PO2=ab,即b2-=ab,化简得4-2·-1=0,解得=(负值舍去). 2.为感恩护士在疫情期间的辛苦付出,某新冠肺炎患者制作了一个工艺品送给尊敬的护士,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为4π,则该球的半径是 ( ) A.2 B.4 C.2 D.4 【解析】选B.设截面圆半径为r,球的半径为R,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2,根据截面圆的周长可得4π=2πr,得r=2,故由题意知R2=r2+,即R2=22+=16,所以R=4. 3.(2019·全国卷Ⅱ)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 ( ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 【解析】选B.当α内有无数条直线与β平行,也可能两平面相交,故A错.同样当α,β平行于同一条直线或α,β垂直于同一平面时,两平面也可能相交,故C,D错.由面面平行的判定定理可得B正确. 4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小 ( ) A.变大 B.变小 C.不变 D.有时变大有时变小 【解析】选C.因为直线l⊥平面ABC,所以l⊥BC.又∠ACB=90°,所以AC⊥BC,所以BC⊥平面APC,所以BC⊥PC,即∠PCB为直角,即∠PCB的大小与点P的位置无关,故选C. 5.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ( ) A. B.- C. D.- 【解析】选A.如图,分别取BC,CD,AD,BD的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PM,PQ,MQ, 则MN∥BD,NP∥AC,所以∠PNM即为异面直线AC和BD所成的角(或其补角). 又由题意得PQ⊥MQ,PQ=AB,MQ=CD. 设AB=BC=CD=2,则PM=. 又MN=BD=,NP=AC=, 所以△PNM为等边三角形,所以∠PNM=60°, 所以异面直线AC与BD所成角为60°,其余弦值为. 【补偿训练】 如图,在三棱锥S-ABC中,SA=SB=AC=BC=2,AB=2,SC=1. ①画出二面角S-AB-C的平面角,并求它的度数. ②求三棱锥S-ABC的体积. 【解析】①取AB中点D,连接SD,CD, 因为SA=SB=2,AC=BC=2, 所以SD⊥AB,CD⊥AB, 且SD?平面SAB,CD?平面CAB, 所以∠SDC是二面角S-AB-C的平面角. 在直角三角形SDA中, SD===1, 在直角三角形CDA中, CD===1, 所以SD=CD=SC=1, 所以△SDC是等边三角形,所以∠SDC=60°. ②方法一: 因为SD⊥AB,CD⊥AB,SD∩CD=D,所以AB⊥平面SDC,又AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面SDC,且平面ABC∩平面SDC=CD, 在平面SDC内作SO⊥DC于O,则SO⊥平面ABC, 即SO是三棱锥S-ABC的高. 在等边△SDC中,SO=, 所以三棱锥S-ABC的体积VS-ABC=S△ABC·SO=××2×1×=. 方法二:因为SD⊥AB,CD⊥AB,SD∩CD=D, 所以AB⊥平面SDC. 在等边△SDC中,△SDC的面积S△SDC=SD2=, 所以三棱锥S-ABC的体积VS-ABC=VA-SDC+VB-SDC=S△SDC·AB=××2=. 6.疫情期间,某地建设方舱医院时需要对隔板夹角处加固,若已知正方体ABCD- A1B1C1D1形状的隔板间的棱长为3,M,N分别为AB1,A1C1上的点,且A1N=AM,AM= 2MB1,P,Q分别为BB1,B1C1上的动点,则固定折线MPQN长度的最小值为 ( ) A.3 B. C.+ D. 【解析】选B.将折线MPQN所在平面展成平面图形,如图所示: 因为正方体的棱长为3,且A1N=A ... ...
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