专题三 平面向量 题型一、线性运算 1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ） A． B． C． D． 【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量． 【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， （） ， 故选：A． 2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（ ） A． B． C． D． 【分析】利用向量的加法法则，先用，进而表示出． 【解答】解：由AB＝2AD＝2DC知： ∵， ∴ ， 故A选项正确． 又∵， ∴ ， 故B选项正确． ∵， ∴， 故C正确． ∵ ， D不正确． 故选：ABC． 3．如图，△ABC中，∠ABC，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，分别交AD，AC于E，F，若AF＝6，BC＝8，则（ ） A． B． C． D． 【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题． 【解答】解：根据题意得，AD平分∠BAC，AE⊥BF ∴AB＝AF＝6，E为BF的中点， 又BC＝8，∠ABC ∴AC＝10， ∴（）； 故选：A． 题型二、共线定理 考点1.三点共线定理 1．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2，，则λ＝（ ） A． B． C． D． 【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ． 【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点 ∵2，， ∴， ∴λ， 故选：A． 2．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ） A． B． C． D． 【分析】由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值 【解答】解：∵P是BN上的一点， 设，由， 则 ∴m＝1﹣λ， 解得λ，m 故选：D． 3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则（ ） A． B． C． D． 【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量， 得到结果． 【解答】解：∵由题意可得△DEF∽△BEA， ∴，再由AB＝CD可得 ， ∴． 作FG平行BD交AC于点G， ∴， ∴． ∵， ∴， 故选：B． 考点2.等和线 4．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，即可求得2λ+μ的最小值． 【解答】解：∵△ABC中，， 点P满足，∴∴ ∵，（λ＞0，μ＞0）， ∴ 因为B，P，C三点共线，所以，，λ＞0，μ＞0 ∴λ+μ＝（λ+μ）（）＝11 当且仅当μλ时取“＝”，则λ+μ的最小值为 故选：B． 5．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若xy，其中x，y∈R，则x+y的最大值是 2 ． 【分析】根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC＝α，则向量，且xy，由向量相等，得x，y的值，从而求得x+y的最值． 【解答】解：【方法一】建立如图所示的坐标系， 则A（1，0），B（cos120°，sin120°）， 即B（，）． 设∠AOC＝α，则（cosα，sinα）． ∵xy（x，0）+（，y） ＝（cosα，sinα）； 则， 解得， ∴x+ysinα+cosα＝2sin（α+30°）． ∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°． ∴x+y有最大值2，当α＝60°时取最大值2． 【解法二】xy， ∴x2+y2+2xy?x2+y2+2xycos120°＝x2+y2﹣xy， ∴x2+y2﹣xy＝1， ∴（x+y）2﹣3xy＝1， ∴（x+y）2﹣1＝3xy≤3?， ∴?（x+y）2≤1， 解得x+y≤2． 故答案为：2． 6．在矩形ABCD中，AB＝1 ... ...
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