第1讲 直线与圆 考点1 圆的方程 例1.(1)在平面直角坐标系中，为直线上第三象限内的点，，以线段为直径的圆（为圆心）与直线相交于另一点，若，则圆的标准方程为_____． 【答案】 【解析】因为为直线上第三象限内的点，所以设点坐标为， 因为以线段为直径的圆（为圆心）与直线相交于另一点，所以有，直线的斜率为2，设点坐标为，因为，所以， 因此有，即点坐标为，显然是线段的中点，设的坐标为，则有，因此， 因为，所以或，因为， 所以，因此圆心的坐标为，圆的半径为， 所以圆的标准方程为．故答案为. 【点睛】本题考查了圆的方程的求法，关键是找出圆心位置，确定圆的半径. (2)“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，，.延长线段至点，使得，以此类推得到点和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知，则由生成的康威圆的半径为_____. 【答案】 【解析】设是圆心，因为，因此到直线的距离相等，从而是直角的内心，作于，连接，则， ， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的方程的求法，本题考查了求圆心的半径，关键是找出圆心位置，解题根据是利用弦长相等，则圆心到弦所在直线的距离相等，从而得出圆心是题中直角三角形内心，这样由勾股定理可得结论． 【跟踪演练】1. (1)已知圆过点，圆M关于直线对称的圆为圆C，求圆C的方程； 【答案】（1）；（2）；（3）直线OP和AB平行，理由见解析. 【解析】圆的圆心 由圆M过点，所以，所以， 设M关于直线对称的点，则，解得 ， 所以圆的方程为， (2)已知抛物线C： ，斜率为的直线l经过点 ，且与C交于A，B两点（其中A点在轴上方）．若B点关于轴的对称点为P，则 外接圆的方程为_____． 【答案】 【解析】，从而 ， ，则P(，)，设圆的方程为，， 解得D＝，E＝0，F＝1，故圆的方程为． 考点2 直线与圆的位置关系 例2.(1)直线与圆相交于M、N两点，若，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆心到直线距离为，即， 所以，，所以．故选:A. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,将弦长范围转化为圆心到直线距离的取值范围，列出不等式即可得解． (2)在平面直角坐标系中，已知为圆上两个动点，且，若直线上存在唯一的一个点，使得，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】取的中点，连接，有， ， 故点在圆上， 由， 设点的坐标为，点的坐标为， 有，可得，， 有，得， 整理为， 因为直线上存在唯一的一个点， 则， 得或， 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,将问题转化为方程有唯一解,利用求解 【跟踪演练】2. (1)已知直线：（）与圆：（）相交于，两点，若，则的值为（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】由题意圆标准方程是，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，又， 由得，解得（舍去）．故选:A． (2)已知直线，圆，则圆C上到直线的距离为的点共有（ ） A．1 B．2个 C．3 D．4 【答案】C 【解析】如图所示：由圆，得圆心，半径， 又圆心到直线的距离为， 因为半径为，所以圆C上到直线的距离为的点共有3个，故选:C. 考点3 定值定点问题 例3.(1)已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线?，?为切点，则直线过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设，则以为直径的圆方程为，即， 由得，这就是直线的方程， 直线方程整理为，由，得， 所以直线过定点．故选:B． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,通过设点坐标，由切线性质得四点共圆，是其直径，可得圆方程，是此圆与圆的公共弦，因此只要两圆方程相减可得直线方程，由方程可得定点坐标． (2)在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上，B（7，3），以线段AB为 ... ...
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