普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研 2021.4 考生注意: 1.本场考试时间120分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上 作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设全集，若集合，则 . 2. 若复数（表示虚数单位），则 . 3. 函数的零点为 . 4. 曲线的顶点到其准线的距离为 . 5. 若，则 . 6. 设棱长为的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 . 7. 设，则 . 8. 设无穷等比数列的前项和为，若，且，则公比 . 9. 设、均为非负实数且满足，则的最小值为 . 10. 某学校从名男生、名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这名宣讲员中男、女生各人的概率为 （结果用最简分数表示）. 11. 设是直线上的动点，若，则的最大值为 . 12. 如图，在△中，，，. 若为△ 内部的点且满足，则 . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ） 14. 设，则双曲线的焦点坐标是（ ） 15. 设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则“”的一个充分非必要条件是（ ） ，且， ，，且 ，且 ，，且 16. 已知函数，设（）为实数，且. 给出下列结论： 若，则； 若，则. 其中正确的是（ ） ①与②均正确 ①正确，②不正确 ①不正确，②正确 ①与②均不正确 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤. 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，设底面半径为的圆锥的顶点、底面中心依次为、，为其底面的直径. 点位于底面圆周上，且. 异面直线与所成角的大小为. （1）求此圆锥的体积； （2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）. 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设函数（）的反函数为. （1）解方程：； （2）设是定义在上且以为周期的奇函数.当时，，试求的值. 19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为（），米，，为对角线和的交点.他以、为圆心分别画圆弧，一段弧与相交于、另一段弧与相交于，这两段弧恰与均相交于.设. （1）若两段圆弧组成“甬路”（宽度忽略不计），求的长（结果精确到米）； （2）记此园地两个扇形面积之和为，其余区域的面积为.对于条件（1）中的，当时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由. 20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知曲线:的左、右焦点分别为、，直线经过且与相交于、两点. （1）求△的周长； （2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程； （3）设的一个方向向量，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 记实数、中的较大者为，例如，.对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”. （1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由. ①， ②； （2）设首项为的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围； （3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列 ... ...
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