第六讲 解析几何 第一节 曲线与方程 曲线与方程是解析几何的基本概念,在近年的高考试题中,重点考查曲线与方程的关系,考查曲线方程的探求方法,多以综合解答题的第⑴小题的形式出现,就这部分考题来说,属于中档题,难度值一般在之间. 考试要求 ⑴了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. ⑵掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程. 题型1 曲线与方程 例 设方程的解集非空.如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,给出以下四个命题：①曲线上的点的坐标都满足方程；②坐标满足方程的点有些在上,有些不在上；③坐标满足方程的点都不在曲线上；④一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程.那么正确命题的个数是( ). A. B. C. D. 点拨：直接用定义进行判断. 解：“坐标满足方程的点都在曲线上” 不正确,意味着“坐标满足方程的点不都在曲线上”是正确的,即一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程,∴④正确；曲线上的点的坐标可以有不满足方程的,∴①错；若只有一解,则知②错；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③错.故选A. 易错点：定义把握不准确,关键字词认识不到位,概念理解不深刻,均有可能错选其它选项. 变式与引申 1.方程的曲线形状是( ) 2.已知定点不在直线：上,则方程表示一条( ) A.过点且平行于的直线 B.过点且垂直于的直线 C.不过点但平行于的直线 D.不过点但垂直于的直线 题型2 代入法(相关点法)求曲线方程 例 已知点,点、分别在轴、轴上,且,,当点在轴上运动时,求点的轨迹方程. 点拨：由确定与的坐标关系,由建立动点与、的坐标关系,用代入法求轨迹方程. 解：设,,,又,则,,.由,得 ①.由,得,∴,,即,,代入①得,,∴,当时,三点、、重合,不满足条件,∴,故点的轨迹方程为. 易错点：忽视轨迹方程中的. 变式与引申 3.已知为坐标原点,点、分别在轴、轴上运动,且, 动点满足,求动点的轨迹方程. 4.如图6-1-1，从双曲线上一点引直线的垂线,垂足为, 求线段的中点的轨迹方程. 题型3 待定系数法、直接法求曲线方程 例 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是和. ⑴求椭圆的方程； ⑵若为椭圆上的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,,求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 点拨：问题⑴用待定系数法求椭圆的方程；问题⑵可将点、的坐标代入满足的关系式中,得到点的轨迹方程(含参数),最后对进行分类讨论,说明其轨迹是什么曲线,并指出变量的取值范围. 解：⑴设椭圆的标准方程为,半焦距为,则,解得,, ∴.故椭圆的标准方程为. ⑵设,其中.由已知及点在椭圆上可得.整理得,其中. ①时,化简得,所以点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段. ②时,方程变形为,其中.当时,点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆. 易错点：第⑵小题中忽视方程的变量的限制；讨论方程所表示的曲线时,标准不明确,分类混乱, 会导致错误发生.③讨论方程所表示的曲线时,一般是以二次项系数为零或相等的参数值来进行分类,做到不重复不遗漏. 变式与引申 5.如图6-1-2，已知椭圆： 的右顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为. ⑴求椭圆的方程； ⑵设点在抛物线：上,在点处的切线与交于点、.当线段的中点与的中点的横坐标相等时,求的最小值. 题型4 定义法求曲线方程与实际应用问题 例 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距的、两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过、两点的直线为轴,线段的的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系(如图6-1-3所示).在直线的右侧,考察范围为到点的距离不超过区域；在直线的左侧,考察范围为到、两点的距离之和不超过区域. ⑴求考察区域 ... ...
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