登陆21世纪教育 助您教考全无忧 第一讲 函数(文) 第一节 初等函数 函数是高中数学的主干知识，是高中数学的一条主线，它涉及了函数的概念和性质，基本初等函数，数列，不等式，方程，导数，解析几何和立体几何等，是历年高考的重点、热点和必考点.初等函数（由基本初等函数经过运算或复合组成的）是基础. 一般地, 在高考试题中，考察函数知识都是以初等函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题，综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分. 难度值一般控制在0.5～0.8之间. 考试要求： ①了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;②会求一些简单函数的定义域和值域；③了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性；④了解反函数的概念及指数函数与对数函数互为反函数；⑤理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质；. 题型一 判定初等函数的性质 例1 求函数的值域. 点拔 函数是三次函数与三角函数复合函数而成的，令得，本题 就转化为求，的值域. 三次函数求值域常用导数的方法. 解 ,则,∴, 由,得或；由,，得，列表： t 1 0 0 减函数 有极小值 增函数 函数有极小值 又,,∴. 易错点 ①令，忽略了；②错误地认为最值一定在端点处取得. 变式与引申1： 函数的值域为_____ 题型二 抽象函数的性质 例2 已知函数对任意实数都有，且当时， ，求在上的值域. 点拔 此题是抽象函数，但是初等函数中，可以找到一个具体函数满足条件，如，由此 猜想抽象函数在是递增函数，再用定义证明递增.：设，且，则，再利用判断与的大小关系.下面只要求出的值就行. 解 设，且，则，由条件当时， 又 为增函数， 令得，再令用得出, 令 得 上的值域为 易错点 利用性质“当时，”证明单调性，易出错. 变式与引申2： 设函数y=是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件： ①对任意正数有；②当时，；③ . (1)求的值; （2）证明上是减函数. 题型三 函数奇偶性的判断 例3 判断函数的奇偶性. 点拔 利用定义判断函数的奇偶性：第一步：看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称，则 为非奇偶非函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步：验证与的关系，若（或）则为偶函数；若 （或）则为奇函数.当难于得出和 的时候，可以考虑验证特殊值. 解 当时，为偶函数； 当时， 既不是奇函数也不是偶函数. 易错点 ①用定义判断奇偶性时，容易漏掉的情况. ②的情况难于得出与的关系，易出错. 变式与引申3： 设为实数，函数．讨论的奇偶性. 题型四 函数思想的应用 例4 关于 x的方程有四个不同的解，求的取值范围. 点拔 此题有多种思考方法：法1： 原方程看作含绝对值的方程，则采用去绝对值的方法，分段讨论解一 元二次方程：和.原方程有四个不同的解，等价于有2个不等的正解，且有2个不同的负数解.问题就转化为两个一元二次方程根的分布问题. 法2：把原方程看作是关于的一元二次方程，则令，则原问题等价于有2个不等的正数解. 法3：采用函数思想来观察方程，则可以把原方程变为：，问题等价于函数和的图像有四个不同的交点.事实上，我们还有下面各种变形： 解 法1 有四个不同的解等价于有2个不等的正解， 且有2个不同的负数解. 有2个不等的正解 有2个不同的负数解 综上所述：. 法2 令则原问题等价于有2个不等的正数解. . 法3 在同一直角坐标系内画出直线HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 与曲线的图像，如图观图可知， 的取值必须满足,解得. 易错点 ①作为二次方程分类，运算量大，易出错; ②易忽略; ③同学们很难将四个不同解等价转化其它问题.. 变式与引申4： （2011年北京卷。文）已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k 的取值范围是___ ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
