2021-2022学年高中人教A版数学必修2学案 第3章　和 第4章 Word版含解析(2份打包)

[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 直线的倾斜角与斜率 【例1】　(1)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率． (2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． [解]　(1)由图形可知，α2＝α1＋90°，则k1，k2可求． 直线l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30°＝. ∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°， ∴直线l2的斜率k2＝tan 120°＝－. (2)由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan 45°＝1， 又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝kl， 即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0. 求直线的倾斜角与斜率注意点 (1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围． (2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大． 1．(1)若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于_____． (2)如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为_____． (1)－9　(2)30°　[(1)∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC. ∴＝，即b＝－9. (2)因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.] 直线五种形式的方程的应用 【例2】　已知△ABC中，A(1，3)，AB，AC边上中线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程. 思路探究：本题利用中线的特殊点(即AB的中点D在AB边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程． [解]　设AB，AC边的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点， ∵点B在中线y－1＝0上， ∴设点B的坐标为(xB，1). ∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1，3)， ∴点D的坐标为. ∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，∴xB＝5. ∴点B的坐标为(5，1). ∵点C在直线x－2y＋1＝0上， ∴设点C的坐标为(2t－1，t). ∴AC的中点E的坐标为. ∵点E在中线BE：y＝1上， ∴＝1，∴t＝－1. ∴点C的坐标为(－3，－1)， ∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0. 求直线方程的方法 (1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况． (2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单． 2．过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程． [解]　(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意； (2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2. 令y＝0，分别得x＝－1，x＝－. 由题意得＝1，即k＝1. 则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2， 即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0 综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 两条直线的位置关系 【例3】　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． [解]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0. 即a2－a－b＝0，① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a， ∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝. 故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋＝0， l2：(a－1)x＋ ... ...