2021年4月阶段性检测 数学参考答案及评分细则 一、选择题 1-5：DCCAB，6—8：BCD 二、选择题 9.ACD 10.ABD 11.BD 12.BCD 三、填空题 14. 4 15. ， 16. 336 四、解答题 17.解：中，由余弦定理知，，由, 所以，， (1分) 由 ，即 (2分) 由正弦定理知，，得, 所以，, (3分) 即， 所以，， (4分) 因为，所以，所以， 又，所以. (5分) (2)若选择条件①， 因为，所以 (6分) 又, (7分) 由正弦定理知，,所以, (8分) 又D为BC中点，所以, (9分) 在中，由余弦定理知， 得. (10分) 若选择条件②， 因为的面积，所以，(6分) 由余弦定理知， (7分) 所以，， 由，解得或. (8分) 因为,所以，所以，又D为BC中点，所以, (9分) 在中，, 所以 . (10分) 18题评分细则： （1）┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈① ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈②┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 ①－②得： ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 令n=1时， 满足上式 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 注：没有验证a2=3a1扣1分 （2）证明： ┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分 注：没有结论扣1分 19题. （1）这60人年龄的平均数为.........1分 前两组所占频率之和为， 前三组数据频率之和为， 设中位数估计值为，则，解得 .............3分 由题意可知，年龄在[50，60）内的人数为6，[60，70）内的人数为3，X的可能取值有0，1，2，3..........................4分 ........6分（求概率共2分，错1个扣1分，扣完为止） X 0 1 2 3 P .........7分（若无求概率过程直接列表，则表中只要错1个数据就不得分） .................8分 由题意队伍中男士共75人，女士125人，则 40岁以下 40岁以上 合计 男士 30 45 75 女士 70 55 125 合计 100 100 200 ..........10分（若计算正确，不列联表不扣分） ....................11分 所以，有95％的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关 ...12分 20．评分细则： (1)取AC中点D，连接DN，A1D ∵AA1＝AC，AD＝CM，∠A1AC＝∠ACM ∴△A1AD≌△ACM (1分) ∴∠AA1D＝∠CAM 又∵∠AA1D＋∠A1DA＝ ∴∠CAM＋∠A1DA＝ ∴AM⊥A1D (2分) 又∵AM⊥A1B1 A1B1＝A1 ∴AM⊥面A1B1ND (4分)注不写A1B1＝A1扣1分 又∵NP?面A1B1ND 注不写NP?面A1B1ND不扣分 ∴AM⊥PN (5分) (2)∵AB＝AC，BC＝2 ∴AB2＋AC2＝BC2 ∴AB⊥AC ∵AM⊥A1B1，A1B1∥AB ∴AM⊥AB 又∵AM∩AC＝A ∴AB⊥面ACC1A1 ∴AB⊥AA1 以AB，AC，AA1为x，y，z建系 (7分) (注：建系过程无证明，只得结果1分) N(1，1，0) M(0，2，1) 设P(t，0，2)t∈[0，2] 设面MNP的法向量＝(x，y，z) 令x＝1 得y＝，z＝ (8分) 又面ABC的法向量＝(0，0，1) 设面PMN与面ABC所成角为θ 则|cos θ|＝|cos 〈〉|＝||＝ (9分) 令u＝2－t ∵t∈[0，2] ∴u∈[0，2] |cos θ|＝ 当u＝0时 cos θ＝0 ∴θ＝不符合 舍去 当u≠0时 |cos θ|＝ 令m＝ |cos θ|＝ ∵φ(m)＝18m2－6m＋2在[，＋∞)递增 ∴φ(m)≥φ()＝ ∴0＜＝ (11分) 所以0＜|cos θ|≤ 又∵θ为锐角 ∴|cos θ|的范围为(0，] (12分) 21.（1）解 （2分） （4分） 注：1.不写N的轨迹扣一分，不写4>| ... ...
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