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课件网) 8.6.2 直线与平面垂直 高一数学必修第二册 第八章 立体几何初步 学习目标 1.领会直线与平面垂直的定义,了解直线与平面所成的角; 2.掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理; 3.会用相关定义、定理解决直线与平面垂直问题. 4.核心素养:直观想象,数学抽象,逻辑推理. 1.空间中直线与平面有几种位置关系？ 线 面 位置关系 垂直 斜交 a b 在平面内 平行 一、回顾旧知 旗杆与地面垂直 日常生活中的垂直问题 你还能举出生活中哪些直线与平面垂直的例子? 电线杆和地面垂直 路灯杆与地面垂直 二、探究新知 直线AB垂直于平面内的任意一条直线, 那么它就垂直于这个平面 1.旗杆所在的直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直? 垂直 如果一条直线 l 垂直于平面α 内的任意一条直线，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直 平面 的垂线 直线 l 的垂面 垂足 记作： l α 2.直线与平面垂直的定义： 线面垂直 线线垂直 l α 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段, 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 3.点到平面的距离 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 实验： 过 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触） 4.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直? 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面 垂直． 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 线线垂直 线面垂直 判定定理 性质 垂直 内 相交 5.直线和平面垂直的判定定理 1.例1. 如图,已知 ,求证: 根据直线与平面垂直的定义知 又因为 所以 又 是两条相交直线， 所以 证明：在平面 内作两条相交直线m，n 因为直线 ， 三、巩固新知 如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC ，PB =PD . 求证：PO⊥平面ABCD C A B D O P = ABCD PO O BD AC 平面 又 ^ \ I Q BD PO BD O PD PB 的中点 是 点 又 ^ \ = Q , PC PA = AC PO 点O是AC的中点 证明 ^ \ Q , 2.变式训练1 3.变式训练2 A1 B1 C1 D1 A B C D 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, O M 4.变式训练3 如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直，那么这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. P A 斜足 斜线 平面的斜线 5.我们知道，当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢？此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢? 如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。 斜线 斜足 射影 垂足 垂线 一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是00的角. 规定: 想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么? 6.直线和平面所成的角 A1 B1 C1 D1 A B C D 7.例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1 DCB1所成的角. O 找角、证角 求角 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B O 线段B1O 8.变式训练4 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （2）AB1在面A1B1CD中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B E 线段B1E 8.变式训练4 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （3）AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B 线段C1D 8.变式训练4 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 A1 D1 C1 B1 A D C B 0o 9.变式训练5 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1 ... ...
