中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（2）（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（2） 1．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值； (3)在抛物线对称轴上存在点，使得是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或或． 【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b，c的值，从而得到抛物线的解析式； （2）设直线AC的解析式y＝kx+b将点A和点C的坐标代入，求出直线AC的解析式，设点P的坐标，进而表示出PQ，进而得出，即可得出结论； （3）分AM是斜边、AN是斜边、MN是斜边三种情况，分别求解即可． 【详解】解：(1)由抛物线过点， 得， 解得， 故抛物线的表达式为． (2)设直线为过点及， 则， 解得， 故直线为， 如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点， 设，则， 又 ． ∴面积的最大值为． (3)存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，设点M（1，m）， 由点A（﹣1，0）、M（1，m）、N（0，3）的坐标知，，同理，， 当AM是斜边时，则4＋m2＝10＋1＋（m?3）2，解得m＝； 当AN是斜边时，，解得m＝1或2； 当MN是斜边时，，解得m＝； 故点的坐标为或或或． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 2．如图，抛物线与x轴的两个交点分别为，与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接、，请在抛物线的对称轴上找一点Q，使，求出点Q的坐标； （3）如图2，过点C作轴，交抛物线于点F，连接，点G是x轴上一点，在抛物线上存在点N，使以点B、F、G、N为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点N的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或或或 【分析】（1）把把，代入，利用待定系数法即可解决问题； （2）如图1中， 过作轴于 证明BE⊥AB，分两种情形求解①作BQ⊥EM交EM于Q，由∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，推出∠ABQ=∠BEM，满足条件，此时． ②当点Q在AB的下方时，设，AB交EM于K．求解，由，可得，列出方程即可解决问题； （3）当以为平行四边形的边时，如图2中，如图3，画出符合题意的图形，设，再利用平行四边形的性质与平移的性质表示的坐标，利用的纵坐标为列方程，解方程可得答案，如图4，当以为平行四边形的对角线时，同理设，，再利用平行四边形的性质以及中点坐标公式列方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）把，代入 得到， 解得 ， ∴抛物线的解析式为． （2）如图1中， 过作轴于 ∵， ∴顶点， ∵，， ， ∴， 作BQ⊥EM交EM于Q， ∵∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°， ∴∠ABQ=∠BEM，满足条件，此时． 当点Q在AB的下方时，记为，设，AB交EM于K． 设直线为， ， ∴直线的解析式为， 当时， ∵ ∴， ∴ ， ∴ 解得 经检验：符合题意， ∴ 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或． （3）当以为平行四边形的边时，如图2中， ，抛物线的对称轴为 设，由平行四边形及平移的性质可得： 且在轴上， 如图3，设，同理可得： 同理可得： 如图4，当以为平行四边形的对角线时， 同理设，， 由平行四边形的性质得：的中点坐标为， 的中点坐标为： 综上所述，满足条件的点N的坐标为或或或或 【点评】本题考查利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定和性质，平移的坐标变化，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题． ... ...