223520-15240专题一 计数原理的应用 专题一 计数原理的应用 【必备知识点】 1．分类加法计数原理： 完成一件事,有类办法.在第1类办法中有种不同方法,在第2类办法中有种不同的方法,……,在第类办法中有种不同方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 3．分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关. 完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理； 若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算． 4. 应用两个原理的分别要注意： 若用分类计数原理，要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理，即加法原理求和得到总数； 若用分步计数原理，要做到步骤“完整”———完成了所有步骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，即乘法原理把完成每一步的方法数相乘得到总数． 5.利用两个基本原理解决具体问题时的方法技巧： 利用两个基本原理解决具体问题，关键环节是分类或者分步。类与步的关系式辩证的。有些问题需要先分类，再在每一类里再分步；有些问题需要先分步，再在每一步里再分类，等等。到底采用何种顺序分类与分步，要看类的趋势和步的趋势谁大谁小。下面用用流程图直观描述。 （1）类中有步情形 从A到B算作一件事的完成。完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数见箭线下面的mi，i=1，2，3，4，5。 完成A→B这件事，共有方法数为m1m2m3+m4m5。 （2）步中有类情形 从A到D算作完成一件事，简单地记为A→D。完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D。其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类。箭线下面的mi（i=1，2，3，4，5）表示相应步的方法数。 完成A→D这件事，共有方法数为m1(m2+m3+m4)m5。 【典例展示】 例（山东）用0,1,……，9,十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） A.243 B.252 C.261 D.279 【解析】由题意可得，此题属于分步问题. 用0,1,……，9十个数字组成三位数（可有重复数字）的个数为9×10×10=900,组成没有重复数学的三位数的个数为9×9×8=648，则组成有重复数学的三位数的个数为900-648=252，故选B 答案：B 例2 一名高中毕业生在填写高考志愿表中的第一批中的第一志愿（学校）和第一专业时了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的专业，具体情况如下： 那么，这名同学不同的填法共有多少种？ 【解析】 这名同学可以选择A、B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）． 例3：设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 【解析】第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择； 第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =720 种不同的选法． 例4.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ） A．12 种 B．7种 C．24种 D．49种 【解析】 错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案. ∴选B 错因:没有 ... ...
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