2021中考数学专题复习：抛物线压轴题之最值问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为 （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标； （3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在线段OC上是否存在一点M，使的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由． 4．如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置． （1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+OM的最小值． 5．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x． （1）写出线段AC，BC的长度：AC＝ ，BC＝ ； （2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式； （3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由，并求出的最大值． 6．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M． （1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标； （2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′ （3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值． 7．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2）， （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值； （3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标； （4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由． 8．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）． （1）试确定该抛物线的函数表达式； （2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ①试判断△ABC的形状，并说明理由； ②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C ... ...
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