理科数学答案 一、选择题 1— —5 6— —10 11、12 DBBCD CCABA DD 二、填空题 13. 14.-160 15. 16.1720 三、解答题 17.（1） 由正弦定理可得 （2） ∴ ∴ 即， 当且仅当时取等号 最小值为 （1）18.证明：由题可知，，，即,面，，， （2） 如图，分别以为轴，建立空间直角坐标系， ，设平面法向量为 得， 直线与平面成角为， 所以，直线与平面成角的正弦值为 19.（1）如图，是线段与轴的交点，直线l和y轴平行，故R是线段PF的中点，又，故是线段PF的中垂线，所以，结合知，动点到点F的距离等于到直线l的距离，故动点的轨迹是开口向右的抛物线，F是焦点，l是准线，依题意动点不能与O重合，故方程为； （2）设，，， 联立得，，则，故， 故为定值0． 20.（1）由题意知，， ，， 所以，， 故所求线性回归方程为． （2）i)由（1）知，当时，， 故该大学2021年的数学专业录取平均分约为540+32=572．即μ＝572 该大学每年数学专业的录取分数，则μ＝572，σ＝4. (1)P(560＜X≤584)＝P(572－3×4＜X≤572＋3×4)＝0.997 . ∴P(X＞584)＝[1－P(560＜X≤584)]＝0.001 5 ∴本专业2021年录取学生共(人)． 成绩排在前46名的学生数占总数2000人的0.023.设一等奖学金分数线应该设定为x0. 则P(X≥x0)＝0.023. ∴P(1144－x0＜x＜x0)＝1－2×0.023＝0.954 . 又知P(572－2×4＜x＜572＋2×4)＝0.954 . ∴x0＝572＋2×4＝580(分)． ∴一等奖学金分数线应该设定为580分 ii)因为，又， 所以该同学被录取的概率， 故建议该同学谨慎报考该大学的数学专业． 21.（1）由题意得：，则， ； ①当时，，，，， 在上单调递增； ②当时，，，，， 在上单调递增， 又，且的图象在内连续， ，使得， 则当时，；当时，； 在内单调递减，在内单调递增， 综合①②可知：在内单调递减，在内单调递增， 又，，，且的图象在内连续， ，，使得， 函数在内零点的个数是个． （2）要证明：，即证：， 即证：…（ ） 设，则， 在内单调递减，，， 要证（ ）成立，只需证：. 方法一：设，则， 设，，在内单调递减， 又，，使得，即，， 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减； ，则原命题得证． 方法二：设，则， 在单调递减，在单调递增， ，， ，，即成立，则原命题得证． 22.解：（1）因为点A和点B的极坐标分别为所以点A和点B的直角坐标分别为又点A和点B关于直线l对称，故直线l的普通方程为y=x,化为极坐标方程为曲线C1的参数方程为为参数化为普通方程为化为极坐标方程即 （2）若直线l与曲线C1和C2在第一象限分别交于M, N点，则故 23.解：（1）当x>6时，f(x)=2x-10<4,解得x<7,故63, 故3
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