福建省2021届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列十二（数列典例剖析及资源推送）

福建省2021届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列十二 数列典例剖析与资源推送 一、典型问题剖析 典型问题一：数列概念的数学本质考查 【例1】（2021年本人编制）已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列各项都不为零，且满足， ，求证：数列是等差数列． 【解析】（1）当时，得， 当时，，两式相减得， 即， 所以， 所以数列是以2为公比，以2为首项的等比数列， 所以，即 ． （2）因为当时， 两式相减，得， 即， 因为数列各项都不为零，所以①， 由①式得②， 所以， 整理得， 所以，所以数列是等差数列. 【评析】本小题主要考查构造新等比数列求通项公式、用两式相减法来处理前项和等基本方法，灵活运用数列的迭代考查学生的数学素养，考查数列运算求解能力，属于中档题目. 典型问题二：数列熔合在解几中的能力考查 【例2】（2021届江苏省苏州市一模19）如图，在平面直角坐标系中，已知个圆与轴和直线均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆 （1）求数列的通项公式； （2）记个圆的面积之和为，求证：． 【解析】（1）法一：设直线与轴、轴分别交于点、,点到轴的距离和到直线的距离均为半径,所以圆心都在的角平分线上,且,所以,则．设圆在轴上的切点为, 在△和△中,因为△, 所以,因为相邻两圆外切,所以, 所以,即,所以数列是首项为,公比为的等比数列．所以，因为，所以． 法二：因为在直线上,所以， 且， 所以，所以为等比数列且首项为，公比为．所以． （2）如图，记圆的面积为，则，由（1）可知, ,代入上式可得, ,从而这个圆的面积之和 ． 【评析】本小题是等比数列解决有关圆的面积问题，考查分析思考与解决问的能力，属于中档题. 典型问题三：数列求和方法的综合考查 【例3】（2021届重庆一中二模20）已知空间向量列,如果对于任意的正整数,均有,则称此空间向量列为“等差向量列”， 称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数，均有，，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”． （1）若是“等比向量列”， 为单位向量，求（用表示）； （2）若是“等差向量列”， “公差向量” ，，；是“等比向量列”， “公比” ，，．求． 【解析】（1） （2）， ， ， 所以 ， 所以，两式相减得： ， 所以． 【评析】本题考查数列的新定义问题，融合了空间向量知识，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础，属于中档题． 典型问题四：数列结构不良问题的创新考查 【例4】（2021届江苏省如皋市一模17）在①成等比数列，且；②，且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．已知数列是公差不为0的等差数列，，其前项和为，数列的前项和为,若_____.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）设等差数列的公差为，则． 选① 因为成等比数列，故，即得，所以 由可得，所以，即． 又当时，，得，故． 所以为定值，数列是首项为１，公比为的等比数列，故，所以，． 选② 因为，故，解得，所以． 由得，当时，， 当时，，，故．所以，． 由（1）知, , 所以, , 所以, 所以,所以. 【评析】本小题借助数列载体考查结构不良问题,考查学生的信息整理能力、探究发现能力和批判性思维，考查数列运算求解能力，属于中档题． 典型问题五：数列与不等式的交叉考查 【例5】（2021届江苏省徐州市第三次调研18）数列中，且，其中为的前项和．（1）求的通项公式； （2）证明：． 【解析】（1）当时，，得， 当时，两式相减得，， 即①，所以② －②得，，即 所以为等差数列，又，则． （2）要证 即证 因为 所以 ，故． 【评析】本题出题角度新颖，融合了不等式知识，通过和式中数列第项的放缩实现数列裂项相消法求 ... ...