第1课时 菱形及其性质 第19章 矩形、菱形与正方形 19.2 菱 形 平行 四边形 矩形 前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形. 有一个角是直角 菱形的定义 思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 菱形 一组邻边相等 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 知识要点 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 要点精析： (1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形; 二是一组邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可； (2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法． 问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题2 猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的 两对角线有什么关系? 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角. 菱形的性质 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD. A B C O D 证一证 （2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. A B C O D 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形和中心对称图形. 角：对角相等. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 归纳总结 例1 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B. 试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形. 解： 在菱形ABCD中， ∵∠B＋∠BAD＝180°， ∠BAD＝2∠B, ∴∠B＝60°. 在菱形ABCD中， ∵AB＝BC(菱形的四条边都相等），∠B＝60°, ∴△ABC是等边三角形. 例2 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E. 求∠BCD的大小. 解： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC＝CB＝BA(菱形的 四条边都相等). 又∵AE垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴AC＝AD＝DC＝CB＝BA， 即△ADC与△ABC都为等边三角形， ∴∠ACD＝∠ACB＝60°. ∴∠BCD＝120°. 例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，BD＝6 cm，AC＝4 cm. 求菱形的周长． 解： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD. ∵AC＝4 cm，BD＝6 cm， ∴AO＝2 cm，BO＝3 cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理，得 ∴菱形的周长＝4AB＝ 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢? 能.过点A作AE⊥BC于点E, 则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE. E 菱形的面积 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积. A B C D O 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC = AC·BO+ AC·DO = AC(BO+DO) = AC·BD. 你有什么发现？ 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 菱形的面积计算有如下方法： (1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2)四个小直角三角形的面积之和(或 ... ...
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