函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 Word

函数对称性、周期性和奇偶性规律 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 对称性定义（略），请用图形来理解。 对称性： 我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数关于对称 也可以写成 或 简证：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。 若写成：，函数关于直线 对称 （2）函数关于点对称 或 简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。 若写成：，函数关于点 对称 （3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。 周期性： （1）函数满足如下关系系，则 A、 B、 C、或（等式右边加负号亦成立） D、其他情形 （2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数” （3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上） 如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上） （4）如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。 定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期. 定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期. 定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期. 两个函数的图象对称性 与关于X轴对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 与关于Y轴对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 与关于直线对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 与关于直线对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 关于点(a,b)对称。 换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。 与关于直线对称。 函数的轴对称： 定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称. 推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称. 推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化. 函数的点对称： 定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称. 推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称. 推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化. 三、总规律：定义在Ｒ上的函数，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。 四、试题 1．已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（A ）. A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负. 分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为 .它的特征就是推论3.因此图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位. ，且函数在上单调递增，所以 ，又由， 有， .选A. 当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A. 2：在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( B ) A.在区间上是增函数，在区间上是减函 ... ...