2021年新高考全国I卷（山东卷）模拟题 数学参考答案及评分标准 一、单选题 C B A A C D C D 二、多选题 9.A C 10. ACD 11. ABD 12. BD 三、填空题 13. 14. 15. 16. 四、解答题 17.解：设数列的公差为， 若选条件①：因为， 所以， ………………………………………………1分 化简可得，，所以， ………………………………………………2分 因为，所以， ……………………………………………………3分 故. …………………………………………………4分 若选条件②：因为是公差为的等差数列，， 于是， ………………………………………………1分 当时，. ………………………………………………2分 当时，， ………………………………………………3分 所以. ………………………………………………4分 若选条件③：因为， 所以， ………………………………………………1分 整理得. ………………………………………………2分 因为，所以， ………………………………………………3分 从而数列的通项公式为. ……………………………………………4分 由已知可得， ………………………………………………5分 所以， ………………………………………………6分 ， ， 两式相减可得， ， ……………………………………8分 所以， ， 显然，当时，，即， …………………………………………9分 又因为， 所以最小正整数的值为. ………………………………………………10分 18. 解：（1）因为， 所以， ………………2分 即， 解得， …………………………………………4分 因为，所以. …………………………………………5分 （2）在中，由正弦定理知，………6分 即， 所以，， ……………………………8分 所以 ……………………………10分 因为，所以， 所以， …………………………………………11分 所以的范围为. …………………………………………12分 19.解：（1）因为,面,面, 所以面, 所以到平面的距离等于点到面的距离， …………………1分 解法一：在中，，故, 所以， ……………………………………2分 可得, 而， ………………………………………………3分 设点到面的距离为， 则有， ………………………………………………4分 解得， 所以点到面的距离为. ……………………………………6分 解法二：如图建立空间直角坐标系， …………………………………2分 可得， ,, ………………………3分 设为平面的一个法向量，则有 ，令，可得， ………4分 点到面的距离为. ……………6分 （2）由（1）解法二可知，， 设，则有， 令，可得， …………………………………9分 所以， …………………………………………11分 故二面角的余弦值为. …………………………………………12分 20.解：（1）设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为和，所以所求的概率 ……………………3分 所以他们在一轮竞赛中能获得一个积分的概率为. ………………………4分 （2）他们在一轮竞赛中获得一个积分的概率 …………………………………6分 因为，，且，所以，， 所以，当且仅当时，等号成立. 即. ……………………………………………………8分 令，则， 所以， ，当时，恒成立， ……………………………9分 所以当时，. …………………………………………………10分 甲乙两同学在轮竞赛中获得的积分数满足， 所以由，即得，， ………………………11分 所以若甲乙同学想至少获得个积分，理论上至少要进行轮竞赛. …………………12分 21.解：（1）由题意可得：，解得， …………………2分 又因为， ……………………………………………3分 所以椭圆的方程为. ……………………………………………4分 （2）因为，设直线的方程为，，……5分 由消去得， 所以， ………… ... ...
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