最小二乘估计 遂川二中：罗连平 教学目标：1、掌握最小二乘法的思想 2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 教学重点：最小二乘法的思想 教学难点：线性回归方程系数公式的应用 教学过程 回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。 问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？ 想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。 最小二乘法就是基于这种想法。 问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？ 设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi） 方法一、点到直线的距离公式 方法二、 显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。 问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度： 从而我们可以推广到n个样本点：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）与直线y=a+bx的接近程度： 使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法 问题4、怎样使达到最小值？ 先来讨论3个样本点的情况 设有3个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画： …………………① 整理成为关于a的一元二次函数，如下所示： 利用配方法可得 从而当时，使得函数达到最小值。 将代入①式，整理成为关于b的一元二次函数， 同样使用配方法可以得到，当 时，使得函数达到最小值。 从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。 用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数： 其中 由我们知道线性回归直线y=a+bx一定过。 例题与练习 例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表 气温（xi）／oC 26 18 13 10 4 -1 杯数（yi）／杯 20 24 34 38 50 64 试用最小二乘法求出线性回归方程。 如果某天的气温是－3 oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。 解：（1）先画出其散点图 i xi yi xi2 xiyi 1 26 20 676 520 2 18 24 324 432 3 13 34 169 442 4 10 38 100 380 5 4 50 16 200 6 －1 64 1 －64 合计 70 230 1286 1910 可以求得 则线性回归方程为 y =57.557－1.648x （2）当某天的气温是－3 oC时，卖出热茶的杯数估计为： 练习1 已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点 ( D ) x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 （A）（2，2） （B）（1.5，0） （C）（1，2） （D）（1.5，4） 练习2 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表： 商店名称 A B C D E 销售额（x）/千万元 3 5 6 7 9 利润额（y）/百万元 2 3 3 4 5 画出销售额和利润额的散点图； 若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。 解：（1） （2）数据如下表： i xi yi xi2 xiyi 1 3 2 9 6 2 5 3 25 15 3 6 3 36 18 4 7 4 49 28 5 9 5 81 45 合计 30 17 200 112 可以求得b=0.5，a=0.4 线性回归方程为： 小结 最小二乘法的思想 线性回归方程的系数： 作业：P60 习题1－8 第1题 ... ...
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