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课件网) 人教版数学教材八年级上 11.2.2 三角形的外角 2 .体会几何中不等关系的简单证明; 3.引导学生从内和外、相等和不等的 不同角度对三角形作更全面的思考. 1.掌握三角形内角和定理的两个 推论及其证明; 教学难点: 三角形外角和定理的证明方法. 教学重点: 三角形外角和定理的证明思路及应用. 学习 目标 1.什么是三角形的外角？ 预习探路 ? 2.三角形的外角具有哪些性质，是如何证明的？ 咦，这哥俩怎么了？ 三角形都长头发了 谁让你光注意三角形的里边呢 外边还有啥？ 还有一个角呢！ 创设情境 1 关注三角形的外角 B A C D 如左图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD,像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 60° 70° 上图中∠A=70°, ∠B =60° ∠ACD是△ABC的一个外角,你能求出∠ACD 是多少度？ 理性 提升 如图，∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它角有什么关系? ∠1+∠4=1800 ∠1=∠2+∠3 ∠1>∠2，∠1>∠3 证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理), ∠1+∠4=1800(平角的意义), ∴∠1=∠2+∠3(等量代换). ∴∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分). A B C D 1 2 3 4 能证明你的结论吗? 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. A C D B E · · 例1 已知:如图在△ABC中, AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. ∵ AD平分∠EAC(已知) ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义) ∴∠DAE=∠B(等量代换) ∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行) 这里是运用了公理“同位角相等，两直线平行”得到了证实. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C (已知) ∴∠B= ∠EAC(等式性质) 方法构想 1 例2 已知：如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边 AC上一点,延长BC到D,连接DE. 求证: ∠1>∠2. 证明：∵ ∠1是△ABC的 一个外角 (已知) ∴ ∠1>∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义) ∴∠3>∠2 (三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角) ∴ ∠1>∠2 (不等式的性质) C A B F 1 3 4 5 E D 2 例3 已知：国旗上的正五角星形如图所示. 求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 解：∵∠1是△BDF的一个 外角(外角定义) ∴∠1=∠B+∠D(三角形的一个 外角等于和它不相邻的两个 内角的和) 又∵∠2是△EHC的一个外角(外角定义) ∴∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和) 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理) ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质) A B C D E F 1 H 2 三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. A B C D 1 2 3 4 在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论. 推论可以当作定理使用. 小结归纳 1 已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小. A B C D 解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∠DCA=100°(已知), ∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角的意义). ∴ ∠ACB=80°(等式的性质). ∠A=45°(已知), 行家伸伸手 已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. 证明(1):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角). ∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角). ∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质). ∵ ∠DEC是△AB ... ...
